Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này sử dụng kiến thức 12 thì rất dễ chứ lớp 11 thì đúng là chẳng biết biện luận thế nào
\(\Leftrightarrow2\left(cos^2x-sin^2x\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2cosx-2sinx\right)\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(\text{vô nghiệm trên đoạn xét}\right)\\2cosx-2sinx+sinx.cosx=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), đặt \(t=cosx-sinx=\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[-1;1\right]\\sinx.cosx=\dfrac{1-t^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2t+\dfrac{1-t^2}{2}=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+\dfrac{1}{2}\) trên \(\left[-1;1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=2\notin\left[-1;1\right]\) ; \(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=2\)
\(\Rightarrow-2\le f\left(t\right)\le2\Rightarrow-2\le m\le2\)
\(\Leftrightarrow\left(1-sinx\right)\left(cos2x+3msinx+sinx-1\right)=m\left(1-sinx\right)\left(1+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\\cos2x+3m.sinx+sinx-1=m\left(1+sinx\right)\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Bài toán thỏa mãn khi (1) có 5 nghiệm khác nhau trên khoảng đã cho thỏa mãn \(sinx\ne1\)
Xét (1):
\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+3msinx+sinx-1=m+m.sinx\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x-sinx-2m.sinx+m=0\)
\(\Leftrightarrow sinx\left(2sinx-1\right)-m\left(2sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\\sinx=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) có 3 nghiệm khác nhau trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\)
\(\Leftrightarrow-1< m< 0\)
Lời giải:
PT $\Leftrightarrow 3\sin x-4\sin ^3x-m(1-2\sin ^2x)-(m+1)\sin x+m=0$
$\Leftrightarrow \sin x[4\sin ^2x-2m\sin x+(m-2)]=0$
Dễ thấy trường hợp $\sin x=0$ ta thu được 2 nghiệm thuộc $(0;3\pi)$
Giờ ta cần tìm $m$ sao cho $4\sin ^2x-2m\sin x+(m-2)=0(*)$ có 6 nghiệm thuộc $(0;3\pi)$. Tất nhiên đảm bảo $\sin x\neq 0$
Đặt $\sin x=t(t\in [-1;1]$) thì PT $(*)$ trở thành:
$4t^2-2mt+(m-2)=0(I)$
$\sin x\neq 0\Leftrightarrow t\neq 0\Rightarrow m\neq 2$
Nếu $t=1$ thì $m=2$ (vô lý) nên $t\neq 1$)
Vậy $t\in [-1;1)$ và $t\neq 0$
$\Delta'_{(I)}=m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4>0$ nên pt $(I)$ luôn có 2 nghiệm $t_1,t_2$ phân biệt.
Bây giờ bạn vẽ đồ thị hàm sin ra.
Nếu $t_1,t_2\in (0;1)$ thì ứng với mỗi $t$ ta có 4 nghiệm $x$ thỏa mãn
$\Rightarrow (*)$ có 8 nghiệm (loại)
Nếu $t_1,t_2\in [-1;0)$ thì ứng với mỗi $t$ ta có nhiều nhất $2$ nghiệm $x$ thỏa mãn
$\Rightarrow (*)$ có nhiều nhất 4 nghiệm (loại)
Nếu $t_1\in (0;1)$ và $t_2\in (-1;0)$ thì đảm bảo $(*)$ có 6 nghiệm.
$\Leftrightarrow 1>t_1>0>t_2>-1$
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} t_1t_2< 0\\ (t_1+1)(t_2+1)>0\\ (t_1-1)(t_2-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t_1t_2< 0\\ t_1t_2+(t_1+t_2)+1>0\\ t_1t_2-(t_1+t_2)+1>0\end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{m-2}{4}< 0\\ \frac{m-2}{4}+\frac{m}{2}+1>0\\ \frac{m-2}{4}-\frac{m}{2}+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2> m> \frac{-2}{3}\)
bạn ơi mình giải ra \(-1< m\le\frac{1}{2}\) thì cũng có 6no là sai hả bạn