Question

[Trần Thanh]

Cho nửa đường tròn tâm (O; R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=CB. OD cắt AC tại M. Từ A, kẻ AH vuông góc với OD (H thuộc OD). AH cắt DB tại N và cắt nửa đường tròn (O; R) tại E.

1) Chứng minh MCNH là tứ giác nội tiếp và OD song song với EB.

2) Gọi K là giao điểm của EC và OD. Chứng minh \(\Delta CKD=\Delta CEB\), Suy ra C là trung điểm của KE.

3) Chứng minh tam giác EHK vuông cân và MN//AB.

4) Tính theo R diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH.

Answer 1

[Nguyễn Thành Trương]

Bạn tự vẽ hình nhé!

1)Ta có: $A\hat{C}B$= 90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> $M\hat{C}N$= 90⁰

Lại có: AH vuông góc OD tại H(gt) => $M\hat{H}N$= 90⁰

Suy ra: $M\hat{C}N$ + $M\hat{H}N$ = 180⁰

Vậy tứ giác MCNH nội tiếp đường tròn (đpcm)

Ta có: $A\hat{E}B$= 90⁰(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> BE vuông góc AE mà OD vuông góc AE (gt) => OD // EB(đpcm)

2)Xét ∆CKD và ∆CEB ta có :

$C\hat{D}K$= $C\hat{B}E$(slt); CB = CD (gt); $K\hat{C}D$= $E\hat{C}B$(đđ)

Vậy: ∆CKD = ∆CEB(g-c-g) (đpcm) => CK = CE

Suy ra: C là trung điểm của KE (đpcm)

3)Ta có: $\overset\frown{CA}$ = $\overset\frown{CB}$ (gt) => CA = CB => ∆ACB vuông cân tại C => $A\hat{B}C$= $B\hat{A}C$= 45⁰

Lại có: $C\hat{E}A$= $A\hat{B}C$ (cùng chắn AC )

=> $H\hat{E}K$=$A\hat{B}C$ = 45⁰

Lúc đó: ∆EHK vuông tại H (gt) mà có $H\hat{E}K$ = 45⁰

Suy ra: ∆HEK vuông cân tại H (đpcm)

Mà: HC là đường trung tuyến của ∆HEK => HC vuông góc KE và HC = CK = CE

=> ∆KCH vuông cân tại C => $C\hat{H}M$= 45⁰

Lại có: $C\hat{N}M$= $C\hat{H}M$ (cùng chắn $\overset\frown{CM}$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH)

Suy ra: $C\hat{N}M$= 45⁰ => $A\hat{B}C$ = $C\hat{N}M$= 45⁰ => MN // AB (đpcm)

4)Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH =>I là trung điểm của MN.

Ta có: ∆ABC vuông cân tại C và AB = 2R(gt) => BC = AC = \[R\sqrt{2}\]

+Vì MN // AB (câu 3) => \[\frac{MN}{AB}=\frac{CN}{BC}\Rightarrow \frac{MN}{CN}=\frac{AB}{BC}=\frac{2R}{R\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow MN=\sqrt{2}CN\]

+Vì MN // OB (câu 3) => \[\frac{MN}{OB}=\frac{DN}{BD}\Rightarrow \frac{MN}{OB}=\frac{DC+CN}{2DC}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}CN}{R}=\frac{R\sqrt{2}+CN}{2\sqrt{2}R}\]

=> \[4CN=R\sqrt{2}+CN\]\[\Rightarrow 3CN=R\sqrt{2}\Rightarrow CN=\frac{R\sqrt{2}}{3}\Rightarrow MN=\sqrt{2}CN=\frac{2R}{3}\]

Suy ra: IM = IN = IC = IH = \[\frac{R}{3}\]

Gọi S là diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MCNH.

Ta có: S = \[\pi .{{(\frac{R}{3})}^{2}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{9}\](đvdt)