Câu hỏi của lê bảo

Question

cho nửa đg tròn tâm o đg kính ab c là 1 điểm thuộc nửa đg tròn tâm o đg thg qua o và vuông góc ac cắt tiếp tuyến tại a ở m

a\ cm mc là tiếp tuyến của đg tròn

<...

AriaX · Accepted Answer

a) Chứng minh $M C$ là tiếp tuyến của đường tròn

Vì $A M$ là tiếp tuyến tại $A$, nên $A M \bot A O$.

Ta có:

$O M$ là đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $A C$ (theo giả thiết).
Tam giác $A O C$ vuông tại $A$ (do $A B$ là đường kính nên $\angle A C B = 90^{\circ}$).

Suy ra:

$A C \bot O C$
$O M \bot A C$

$\Rightarrow O M / / O C$

Xét tam giác $A O C$, vì $A M$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $\angle M A C = \angle O C A$.

Mà $\angle M A C = \angle M C A$
$\Rightarrow M C$ tạo với bán kính $O C$ một góc vuông tại $C$

$\Rightarrow M C$ tiếp xúc với đường tròn tại $C$.
→ MC là tiếp tuyến của đường tròn

b) Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ trên $A B$; $I$ là giao điểm của $M B$ và $C H$. Chứng minh: $C I = I H$.

Chứng minh:

Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ⇒ $H$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống $A B$ ⇒ $H$ là hình chiếu của $C$ lên đường kính → $C H$ là đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông $A C B$.
Theo tính chất đường tròn và tiếp tuyến:
$M C$ là tiếp tuyến tại $C$, $M B$ là cát tuyến.
Ta có: $M B^{2} = M C \cdot M A$ (định lý tiếp tuyến – cát tuyến).
Xét tam giác $M C H$, đường thẳng $M B$ cắt $C H$ tại $I$.

Sử dụng hệ thức của tam giác vuông nội tiếp đường tròn:

$C H^{2} = C I \cdot I H$

Nhưng vì tam giác $A B C$ vuông tại $A$ nên $C H^{2} = A H \cdot H B$

Mà theo tính chất đồng dạng của các tam giác $\Rightarrow C I = I H$.

→ $C I = I H$.

Câu trả lời:

a) Chứng minh $M C$ là tiếp tuyến của đường tròn

Vì $A M$ là tiếp tuyến tại $A$, nên $A M \bot A O$.

Ta có:

$O M$ là đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $A C$ (theo giả thiết).
Tam giác $A O C$ vuông tại $A$ (do $A B$ là đường kính nên $\angle A C B = 90^{\circ}$).

Suy ra:

$A C \bot O C$
$O M \bot A C$

$\Rightarrow O M / / O C$

Xét tam giác $A O C$, vì $A M$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $\angle M A C = \angle O C A$.

Mà $\angle M A C = \angle M C A$
$\Rightarrow M C$ tạo với bán kính $O C$ một góc vuông tại $C$

$\Rightarrow M C$ tiếp xúc với đường tròn tại $C$.
→ MC là tiếp tuyến của đường tròn

b) Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ trên $A B$; $I$ là giao điểm của $M B$ và $C H$. Chứng minh: $C I = I H$.

Chứng minh:

Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ⇒ $H$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống $A B$ ⇒ $H$ là hình chiếu của $C$ lên đường kính → $C H$ là đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông $A C B$.
Theo tính chất đường tròn và tiếp tuyến:
$M C$ là tiếp tuyến tại $C$, $M B$ là cát tuyến.
Ta có: $M B^{2} = M C \cdot M A$ (định lý tiếp tuyến – cát tuyến).
Xét tam giác $M C H$, đường thẳng $M B$ cắt $C H$ tại $I$.

Sử dụng hệ thức của tam giác vuông nội tiếp đường tròn:

$C H^{2} = C I \cdot I H$

Nhưng vì tam giác $A B C$ vuông tại $A$ nên $C H^{2} = A H \cdot H B$

Mà theo tính chất đồng dạng của các tam giác $\Rightarrow C I = I H$.

→ $C I = I H$.

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: ΔOAC cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc AOC

Xét ΔOAM và ΔOCM có

OA=OC

$\hat{AOM}=\hat{COM}$

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOCM

=>$\hat{OAM}=\hat{OCM}$

=>$\hat{OCM}=90^0$

=>MC là tiếp tuyến của (O)

b: Gọi K là giao điểm của BC và AM

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥KB tại C

=>ΔACK vuông tại C

Ta có: $\hat{MAC}+\hat{MKC}=90^0$ (ΔACK vuông tại C)

$\hat{MCA}+\hat{MCK}=\hat{ACK}=90^0$

mà $\hat{MAC}=\hat{MCA}$

nên $\hat{MKC}=\hat{MCK}$

=>MK=MC

mà MA=MC

nên MA=MK(1)

Ta có: CH⊥AB

KA⊥BA

Do đó: CH//KA

Xét ΔBAM có IH//AM

nên $\frac{IH}{AM}=\frac{BI}{BM}\left(2\right)$

Xét ΔBMK có CI//KM

nên $\frac{CI}{KM}=\frac{BI}{BM}\left(3\right)$

Từ (1),(2),(3) suy ra IH=IC