Question

[chi chăm chỉ]

Cho \(n\in Z+\)  biết 2n+1 và 3n+1 là 2 số chính phương 

CM: 

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

Giả sử \(2n+1=m^2;3n+1=k^2\)(m,n nguyên dương)

m lẻ<=>2n=m²-1=(m-1)(m+1) chia hết 4 <=> n chẵn <=>k lẻ

Từ 3n+1=k² <=>3n=k²-1=(k-1)(k+1) chia hết 8 (do k+1 và k-1 là 2 số chẵn liên tiếp).Do đó n chia hết 8 (1)

Một số số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0,1,4

• Nếu n=5p+1 thì 2n+1=10p+3 chia 5 dư 3, vô lí
• Nếu n=5p+2 thì 3n+1=15p+7 chia 5 dư 2, vô lí
• Nếu n=5p+3 thì 2n+1=10p+7 chia 5 dư 2, vô lí
• Nếu n=5p+4 thì 3n+1=15p+13 chia 5 dư 3, vô lí
• Nếu n=5p thì 3n+1=15p+1 chia 5 dư 1, tm

2n+1=10p+1 chia 5 dư 1,tm

Vậy n chia hết 5 (2)

Từ (1) và (2) ta có n chia hết 5 và 8 <=> n chia hết 40