Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\left(ab+\frac{1}{ab}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\left[ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\right]\left(c+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge\left[2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{4\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\right]\left(2\sqrt{c.\frac{1}{c}}\right)\)
\(\ge\frac{25}{2}\left(Đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2};c=1\)
1. Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engle, ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{a+b+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
Vì a, b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\Leftrightarrow a+b\le3\)
\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+2b+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)
a/ Bạn cứ khai triển biến đổi tương đương thôi (mà làm biếng lắm)
b/ Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
cảm ơn bạn nhưng nạ có thể giải nốt cậu a hộ mình đc ko
e)\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\)
\(=\left(1+1\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
\(=2+\left(\frac{a.a}{b.a}+\frac{b.b}{a.b}\right)\)
\(=2+\frac{a.a+b.b}{b.a}\)
Vì \(\frac{a.a+b.b}{a.b}>=2\)
Nên \(2+\frac{a.a+b.b}{a.b}>=2+2=4\)
Hay \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)>=4\)
a) \(a^2+b^2-2ab\)
\(=\left(a-b\right)^2\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\) là binh phương của một số nên \(\left(a-b\right)^2>=0\)
Hay \(a^2+b^2-2ab>=0\)
Câu hỏi của Nguyễn Thiều Công Thành - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath