Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương
giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!
Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:
1/ Đặt \(m=n-2008>0\)
\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương
\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương
m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương
\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)
b/
\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow x=y=4\)
2, rút gọn B=x^2/(y-1)+y^2/(x-1)
AM-GM : x^2/(y-1)+4(y-1) >/ 4x ; y^2/(x-1)+4(x-1) >/ 4y
=> B >/ 4x-4(y-1)+4y-4(x-1)=4x-4y+4+4y-4x+4=8
minB=8
Câu 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+1\ge2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow x+1+x+1\ge x+2\sqrt{x}+1\)
\(\Rightarrow2x+2\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(1\right)\)
Tương tự cũng có: \(2y+2\ge\left(\sqrt{y}+1\right)^2\left(2\right)\)
Nhân theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có:
\(\left(2x+2\right)\left(2y+2\right)\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{y}+1\right)^2\ge16\)
\(\Rightarrow4\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge16\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge4\)
Lại áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(x+1\right)+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge4\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\). Giờ thì áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)
\(---------\)
Ta có:
\(x+y+4=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)\ge2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\) (theo bđt \(AM-GM\) cho bộ số gồm hai số thực không âm)
nên \(x+y+\left(x+y+4\right)\ge x+y+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
hay nói cách khác, \(2\left(x+y+2\right)\ge12\) (do \(x+y+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=12\) )
\(\Rightarrow\) \(x+y\ge4\)
Do đó, sau khi thiết lập điều kiện cho \(x,y\) , ta tiếp tục áp dụng \(AM-GM\) cho 3 số thực dương đã cho trước, điển hình như:
\(\frac{x^3}{y+2}+\frac{y+2}{2}+2\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(y+2\right)}.\frac{\left(y+2\right)}{2}.2}=3x\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{x^3}{y+2}\ge3x-\frac{y+2}{2}-2\) \(\left(1\right)\)
Đổi biến, thực hiện công đoạn trên tương tự đối với phân thức sau, rút gọn và biến đổi lặp lại:
\(\frac{y^3}{x+2}\ge3y-\frac{x+2}{2}-2\) \(\left(2\right)\)
Gộp \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) với nhau cùng với dấu liên kết \(\left(+\right)\) , khi đó:
\(\frac{x^3}{y+2}+\frac{y^3}{x+2}\ge\frac{5}{2}\left(x+y\right)-6\)
Lúc đó,
\(M\ge\frac{5}{2}\left(x+y\right)+\frac{48}{x+y}-6\)
\(---------\)
Đặt \(t=x+y\) \(\Rightarrow\) \(t\ge4\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{t}{2}\ge2\) \(\Rightarrow\) \(\frac{t}{2}-2\ge0\) \(\left(3\right)\)
Ta biễu diễn bđt trên lại như sau:
\(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{48}{t}-6\)
tức là \(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{t}{2}+\frac{48}{t}-6-2\) (do \(\left(3\right)\) )
hay \(M\ge\frac{5t}{2}+\frac{t}{2}+\frac{48}{t}-6-2=3t+\frac{48}{t}-8\)
Mặt khác, ta lại có: \(3t+\frac{48}{t}\ge2\sqrt{3t.\frac{48}{t}}=24\)
nên \(M\ge24-8=16\)
Vậy, \(M_{min}=16\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=2\)
- cách Phước Nguyễn dài :)). Tư gt bạn suy ra đc \(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=4\).(1)
- Áp dụng bdt cosi cho 3 số dg :\(\frac{x^3}{y+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{y+2}\ge3x\)\(\frac{^{y^3}}{x+2}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}\ge3y\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y+2}+\frac{y^3}{x+2}+2.\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}\right)\ge3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow M+8\ge3\left(x+y\right)+\frac{48}{x+y}\ge2.\sqrt{3.\left(x+y\right).\frac{48}{x+y}}=24\)( do (1) và áp dụng bdt cosi cho 2 số dg) . Dấu "=" xảy ra <=> x=y=2 . OK.
Vũ Minh Tuấn, buithianhtho, Băng Băng 2k6, Akai Haruma, Nguyễn Thành Trương, No choice teen, Nguyễn Thanh Hằng, HISINOMA KINIMADO, Bùi Thị Vân, Arakawa Whiter, @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Nguyễn Thị Ngọc Thơ
mn giúp e vs ạ! Thanks nhiều!
a Tách \(M=2+\frac{4xy}{x^2+2xy+y^2}=2+\frac{4xy}{\left(x+y\right)^2}\le2+1=3\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y và x+y=2015 <=>x=y=2015/2
b,:\(N\ge\frac{\left(1+\frac{2015}{x}+1+\frac{2015}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+2015\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right)^2}{2}\)
áp dunngj svac =>\(N\ge\frac{\left(2+2015\left(\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}\right)\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{2015.4}{2015}\right)^2}{2}=18\)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y và x+y=2015 <=>x=y=2015/2