Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.\(\dfrac{log_ac}{log_{ab}c}=log_ac.log_c\left(ab\right)=log_ac.\left(log_ca+log_cb\right)=log_ac.log_ca+log_ac.log_cb=\dfrac{log_ac}{log_ac}+\dfrac{log_cb}{log_ca}=1+log_ab\)
2. \(log_{ax}bx=\dfrac{log_abx}{log_aax}=\dfrac{log_ab+log_ax}{log_aa+log_ax}=\dfrac{log_ab+log_ax}{1+log_ax}\)
3. \(\dfrac{1}{log_ax}+\dfrac{1}{log_{a^2}x}+...+\dfrac{1}{log_{a^n}x}=log_xa+log_xa^2+...+log_xa^n\)
\(=log_xa+2log_xa+...+n.log_xa=log_xa+2log_xa+...+n.log_xa\)
\(=log_xa.\left(1+2+...+n\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}log_xa=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2.log_ax}\)
Từ giả thiết ta thấy tất cả các biểu thức đều xác định :
Ta có : \(\log_ax=1+\log_ax.\log_az\Leftrightarrow\log_ax=\frac{1}{1-\log_az}=\frac{1}{1-\log_a\frac{a}{z}}=\log_{\frac{a}{z}}z\)
Do đó \(\log_xa.\log_{\frac{a}{z}}z=1\)
Tương tự \(\log_ya.\log_{\frac{a}{x}}x=1\)
Hơn nữa, thay \(\log_ax=\frac{1}{1-\log_az}\) vào \(\log_ay=1+\log_ay.\log_ax\), ta được :
\(\log_ay=1+\frac{\log_ay}{1-\log_az}\Leftrightarrow1-\log_az=\frac{\log_ay}{\log_ay-1}\)
\(\Leftrightarrow\log_za=1+\log_ay.\log_az\)
Tương tự như trên ta cũng có :
\(\log_za.\log_{\frac{a}{y}}y=1\)
Từ đó suy ra :
\(A=\left(\log_{\frac{a}{x}}a.\log_ya\right)\left(\log_{\frac{a}{y}}a.\log_za\right)\left(\log_{\frac{a}{z}}a.\log_xa\right)=1\)
a) Ta có 1350 = 30.32 . 5 suy ra
log301350 = log30(30. 32. 5) = 1 + 2log303 + log305 = 1 + 2a + b.
b) log2515 = =
=
=
=
.
Ta có \(a=\frac{1}{2}\log_711;b=\log_27\)
Mặt khác : \(\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8}=3\log_7\frac{11^2}{2^3}=3\left(2\log_711-3\log_72\right)=6\log_711-\frac{9}{\log_27}=12a-\frac{9}{b}\)
Vậy \(\log_{\sqrt[3]{7}}\frac{121}{8}=12a-\frac{9}{b}\)
a. \(\log_{2011}2012\) và \(\log_{2012}2013\)
Ta luôn có : \(\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\) với mọi \(n>1\) (*)
Thật vậy :
- Ta có : \(\left(n+1\right)^2=n\left(n+2\right)+1>n\left(n+2\right)>1\Rightarrow\log_{n+1}\left(n+1\right)^2>\log_{n+1}\left[n\left(n+2\right)\right]\)
hay :
\(2>\log_{n+1}n+\log_{n+1}\left(n+2\right)\) (1)
- Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy, ta có :
\(\log_{n+1}n+\log_{n+1}\left(n+1\right)>2\sqrt{\log_{n+1}n.\log_{n+1}\left(n+2\right)}\) (2)
((2) không xảy ra dấu "=" vì \(\log_{n+1}n\ne\log_{n+1}\left(n+2\right)\) )
- Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2>2\sqrt{\log_{n+1}n.\log_{n+1}\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow1>\log_{n+1}n.\log_{n+1}\left(n+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\log_{n+1}n}>\log_{n+1}\left(n+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\)
Áp dụng (*) với \(n=2011\Rightarrow\log_{2011}2012>\log_{2012}2013\)
b. \(\log_{13}150\) và \(\log_{17}290\)
Ta có : \(\log_{12}150< \log_{13}169=2=\log_{17}289< \log_{17}290\Rightarrow\log_{13}150< \log_{17}290\)
c. \(\log_34\) và \(\log_{10}11\)
Ta luôn có : \(\log_a\left(a+1\right)>\log_{a+1}\left(a+2\right)\) với \(0< a\ne1\) (*)
Tương tự câu (a), áp dụng liên tiếp (*) ta được :
\(\log_34>\log_45>\log_56>\log_67>\log_78>\log_89>\log_910>\log_{10}11\)
hay \(\log_34>\log_{10}11\)
Theo công thức biến đổi có số ta có : \(\log_{a^n}x=\frac{\log_ax}{\log_aa^n}=\frac{1}{n}\log_ax\)
Từ đó ta có :
\(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}\)
\(=\frac{1}{\log_ax}+\frac{2}{\log_ax}+\frac{4}{\log_ax}+...+\frac{n}{\log_ax}\)
\(=\frac{1+2+3+...+n}{\log_ax}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)
Vậy \(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)
Chọn 2 làm cơ số, ta có :
\(A=\log_616=\frac{\log_216}{\log_26}=\frac{4}{1=\log_23}\)
Mặt khác :
\(x=\log_{12}27=\frac{\log_227}{\log_212}=\frac{3\log_23}{2+\log_23}\)
Do đó : \(\log_23=\frac{2x}{3-x}\) suy ra \(A=\frac{4\left(3-x\right)}{3+x}\)
b) Ta có :
\(B=\frac{lg30}{lg125}=\frac{lg10+lg3}{3lg\frac{10}{2}}=\frac{1+lg3}{3\left(1-lg2\right)}=\frac{1+a}{3\left(1-b\right)}\)
c) Ta có :
\(C=\log_65+\log_67=\frac{1}{\frac{1}{\log_25}+\frac{1}{\log_35}}+\frac{1}{\frac{1}{\log_27}+\frac{1}{\log_37}}\)
Ta tính \(\log_25,\log_35,\log_27,\log_37\) theo a, b, c .
Từ : \(a=\log_{27}5=\log_{3^3}5=\frac{1}{3}\log_35\)
Suy ra \(\log_35=3a\) do đó :
\(\log_25=\log_23.\log35=3ac\)
Mặt khác : \(b=\log_87=\log_{2^3}7=\frac{1}{3}\log_27\) nên \(\log_27=3b\)
Do đó : \(\log_37=\frac{\log_27}{\log_23}=\frac{3b}{c}\)
Vậy : \(C=\frac{1}{\frac{1}{3ac}+\frac{1}{3a}}+\frac{1}{\frac{1}{3b}+\frac{c}{3b}}=\frac{3\left(ac+b\right)}{1+c}\)
d) Điều kiện : \(a>0;a\ne0;b>0\)
Từ giả thiết \(\log_ab=\sqrt{3}\) suy ra \(b=a^{\sqrt{3}}\). Do đó :
\(\frac{\sqrt{b}}{a}=a^{\frac{\sqrt{3}}{2}-1};\frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt{a}}=a^{\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}}=a^{\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)}\)
Từ đó ta tính được :
\(A=\log_{a^{\alpha}}a^{\frac{-\sqrt{3}}{3}\alpha}=\log_{a^{\alpha}}\left(a^{\alpha}\right)^{\frac{-\sqrt{3}}{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{3}\) với \(\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\)
\(log_xa=\dfrac{1}{p};log_xb=\dfrac{1}{q}\)
\(log_xabc=\dfrac{1}{r}\Rightarrow log_xa+log_xb+log_xc=\dfrac{1}{r}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{log_cx}=\dfrac{1}{r}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{log_cx}=\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}=\dfrac{pq-pr-qr}{pqr}\)
\(\Rightarrow log_cx=\dfrac{pqr}{pq-pr-qr}\)