Question

[阮嘉宝]

Cho hs y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [1,2] thỏa mãn đẳng thức \(\dfrac{3x^3f\left(x\right)}{f'\left(x\right)^2+xf'\left(x\right)+x^2}=f'\left(x\right)-x\) ∀x∈ [1;2] và\(f\left(1\right)=\dfrac{7}{3}\) .Tính f(2).

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
\(\frac{3x^3f(x)}{f'(x)^2+xf'(x)+x^2}=f'(x)-x\)

\(\Rightarrow 3x^3f(x)=[f'(x)-x][f'(x)^2+xf'(x)+x^2]=f'(x)^3-x^3\)

\(\Rightarrow 3f(x)=\left(\frac{f'(x)}{x}\right)^3-1\)

Đặt \(\frac{f'(x)}{x}=g(x)\Rightarrow f'(x)=xg(x)(1)\) .

Vì \(f(1)=\frac{7}{3}\Rightarrow f'(1)=2\Rightarrow g(1)=2\)

Ta có: \(3f(x)=g(x)^3-1\)

\(\Rightarrow 3f'(x)=3g'(x)g(x)^2\)

\(\Rightarrow f'(x)=g'(x)g(x)^2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow xg(x)=g'(x)g(x)^2\)

\(\Rightarrow x=g'(x)g(x)=\frac{1}{2}[g(x)^2]'\) \(\Rightarrow 2x=[g(x)^2]'\Rightarrow g(x)^2=\int 2xdx=x^2+c\)

Kết hợp với $g(1)=2$ suy ra $c=3$

Vậy \(g(x)^2=x^2+3\Rightarrow f(x)=\frac{g(x)^3-1}{3}=\frac{(x^2+3)^{\frac{3}{2}}-1}{3}\)

\(\Rightarrow f(2)=\frac{\sqrt{343}-1}{3}\)