Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Ta có:
\(MA^2+MC^2+MB^2+MD^2\ge\frac{\left(MA+MC\right)^2}{2}+\frac{\left(MB+MD\right)^2}{2}\ge\frac{AC^2}{2}+\frac{BD^2}{2}=2\)
A B C D M P 1 1
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta PDA\) có :
\(\widehat{B}=\widehat{D}=90^0\left(gt\right);\widehat{A_1}=\widehat{P_1}\left(SLT\right)\) \(\Rightarrow\) \(\Delta ABM\) Đồng dạng với \(\Delta PDA\) (g - g)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{PD}{AP}\)(1)
Ta lại có \(\frac{AB}{AP}=\frac{AD}{AP}\)(2)
\(\Delta ADP\) Vuông tại D \(\Rightarrow AD^2+DP^2=AP^2\)(3)
Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\frac{AB^2}{AM^2}+\frac{AB^2}{AP^2}=\frac{PD^2}{AP^2}+\frac{AD^2}{AP^2}=\frac{PD^2+AD^2}{AP^2}=\frac{AP^2}{AP^2}=1\)
\(\Leftrightarrow AB^2\left(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AP^2}=\frac{1}{AB^2}\)(ĐPCM)
(H1) 
2)
a)
ABCD là hình vuông có cạnh bằng 1 
M là điểm bất kỳ nằm trong hình vuông ABCD (H1)
Chứng minh tương tự: 
Do đó, suy ra: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 
1 + 1 = 2 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra 
M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
b)Kẽ MH 
BC tại H (H2) 
MH = NB
ANM vuông cân ở N có O là trung điểm của cạnh huyền AM
MN2 = 2ON2 
(1)
MHC vuông cân ở H MC2 = 2MH2 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
(3)
Hai tam giác ONB và NMC có:
(vì cùng bằng 1350) và ( theo (3))
Suy ra ONB NMC (c-g-c) 
(4)
Từ (1) và (4) suy ra: 
NC2 = 2.OB2 (đpcm)
Lời giải:
Qua $M$ kẻ $EF\perp AB, CD$ với $E\in AB, F\in DC$
Dễ thấy $AEFD$ và $EBCF$ là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.
Do đó $AE=DF; EB=CF; EF=AD=BC$
Áp dụng định lý Pitago ta có:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AE^2+EM^2+EB^2+EM^2+CF^2+MF^2+DF^2+MF^2\)
\(=(AE^2+DF^2)+(EB^2+CF^2)+2EM^2+2FM^2\)
\(=2AE^2+2BE^2+2EM^2+2MF^2=2[(AE^2+BE^2)+(EM^2+MF^2)]\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=2(AE^2+BE^2)+2(EM^2+MF^2)\geq (AE+BE)^2+(MF+EM)^2\)
\(=AB^2+EF^2=AB^2+AD^2=2\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $M$ là tâm hình vuông.
Hình vẽ: