Question

[quân bạch]

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng CD. Biết 2HB = AB+ CD. Chứng minh AC vuông góc vs BD

Answer 1

[Lê Song Phương]

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC và O là giao điểm của AC và BD. Khi đó dễ thấy MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra \(MN=\frac{AB+CD}{2}\).

Mà \(AB+CD=2HB\) (theo đề bài) nên \(MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{2HB}{2}=HB\) (1)

Mặt khác, tam giác BHC vuông tại H có trung tuyến HN nên \(NH=NC=\frac{BC}{2}\), suy ra tam giác NHC cân tại N, dẫn đến \(\hat{NHC}=\hat{NCH}\) hay \(\hat{NHC}=\hat{BCD}\) (2)

Lại có tứ giác ABCD là hình thang cân (AB//CD) nên \(\hat{BCD}=\hat{ADC}\) (3)

Từ (2) và (3), suy ra \(\hat{NHC}=\hat{ADC}\), suy ra NH//DM (2 góc đồng vị bằng nhau) (4)

Hơn nữa, vì MN là đường trung bình của hình thang cân ABCD (AB//CD) nên MN//CD hay MN//DH. (5)

Từ (4) và (5) suy ra tứ giác DHNM là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song), suy ra \(DH=MN\). Mà \(MN=BH\) (theo (1)) nên \(DH=BH\).

Tam giác BDH vuông tại H có \(DH=BH\) nên nó là tam giác vuông cân tại H, suy ra \(\hat{BDH}=45^{o}\) hay \(\hat{ODC}=45^{o}\).

Vì ABCD là hình thang cân (AB//CD) nên dễ thấy \(\hat{OCD}=\hat{ODC}\) (cái này quá dễ thấy rồi mình không cần chứng minh nữa nhé), suy ra \(\hat{OCD}=\hat{ODC}=45^{o}\) , từ đó dễ thấy tam giác OCD vuông cân tại O, hay \(\hat{COD}=90^{o}\), cũng tức là AC vuông góc với BD. Ta có đpcm.