Question

[Mặt chó]

Cho hình thang ABCD(AB // CD), tia phân giác góc C đi qua trung điểm M của AD. CMR:

a. góc BMC = 90 độ

b. BC = AB + CD

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Gọi N là trung điểm của BC

Xét hình thang ABCD(AB//CD) có

M là trung điểm của AD(gt)

N là trung điểm của BC(theo cách gọi)

Do đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

⇒MN//AB//DC và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)

Ta có: MN//DC(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{CMN}=\widehat{MCD}\)(hai góc so le trong)

mà \(\widehat{MCD}=\widehat{MCN}\)(CM là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\))

nên \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\)

Xét ΔMNC có \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\)(cmt)

nên ΔMNC cân tại N(Định lí đảo của tam giác cân)

⇒MN=NC

mà \(NC=\frac{BC}{2}\)(N là trung điểm của BC)

nên \(MN=\frac{BC}{2}\)

Xét ΔBMC có

MN là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(N là trung điểm của BC)

\(MN=\frac{BC}{2}\)(cmt)

Do đó: ΔBMC vuông tại M(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

⇒\(\widehat{BMC}=90^0\)(đpcm1)

b) Ta có: \(MN=\frac{BC}{2}\)(cmt)

\(\Leftrightarrow BC=2\cdot MN\)

\(\Leftrightarrow BC=2\cdot\frac{AB+CD}{2}\)

hay \(BC=AB+CD\)(đpcm2)