Question

[Hoàng Ngọc Hồng Châu]

Cho hình bình hành ABCD. K,I lần lượt là trung điểm AB và CD. M,N lần lượt là giao điểm AI và CK với BD. Chứng minh:

a) Tam giác ADM = tam giác CBN

b) Góc MAC= góc NCA và IM//CN

c) DM=MN=NB

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C D K I

a/

Xét tg ADI và tg CBK có

AD=BC (cạnh đối hbh) (1)

Ta có

\(DI=\dfrac{CD}{2};BK=\dfrac{AB}{2};CD=AB\Rightarrow DI=BK\) (2)

\(\widehat{ADI}=\widehat{CBK}\) (góc đối hbh) (3)

Từ (1) (2) (3) => tg ADI = tg CBK (c.g.c) \(\Rightarrow\widehat{DAI}=\widehat{BCK}\)

Xét tg ADM và tg CBN có

\(\widehat{DAI}=\widehat{BCK}\)

AD=BC

\(\widehat{ADM}=\widehat{CBN}\) (góc so le trong)

=> tg ADM = tg CBN (g.c.g)

b/

Ta có

AB//CD => AK//IC 

\(AK=\dfrac{AB}{2};CI=\dfrac{CD}{2};AB=CD\Rightarrow AK=IC\)

=> Tứ giác AKCI là hbh (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

=> AI//CK => AM//CN \(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{NCA}\) (góc so le trong)

Xét tg ABM có

AI//CK => KN//AM \(\Rightarrow\dfrac{BK}{AK}=\dfrac{NB}{MN}=1\Rightarrow MN=NB\) (Talet trong tg)

Xét tg CDN có

IM//CN \(\Rightarrow\dfrac{DI}{CI}=\dfrac{DM}{MN}=1\Rightarrow DM=MN\) (Talet trong tg)

=> DM=MN=NB