Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Tập xác định : D = R
limx→−∞f(x)=+∞limx→+∞f(x)=−∞y′=−3x2+6x+9=0⇔x=−1,x=3limx→−∞f(x)=+∞limx→+∞f(x)=−∞y′=−3x2+6x+9=0⇔x=−1,x=3
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b) y=f(x) = f(x) = -x3+3x2+9x+2.
f’(x) = -3x2+6x+9. Do đó:
f’(x-1)=-3(x-1)2+6(x-1)+9
= -3x2 + 12x = -3x(x-4) > 0 ⇔ 0 < x < 4
c) f’’(x) = -6x+6
f’’(x0) = -6 ⇔ -6x0 + 6 = -6 ⇔ x0 = 2
Do đó: f’(2) = 9, f(2) = 24. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 = 2 là:
y=f’(2)(x-2) + f(2) hay y = 9x+6
a) y = x3 + 3x2 + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 + 6x = 3x(x+ 2)
y’=0 ⇔ x = 0, x = -2
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b) Số nghiệm của phương trình \(x^3+3x^2+1=\dfrac{m}{2}\) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): \(y=\dfrac{m}{2}\) (đường thẳng (d) vuông góc với Oy và cắt Oy tại \(\dfrac{m}{2}\) )
Từ đồ thị ta thấy:
- Với \(\dfrac{m}{2}< 1\Leftrightarrow m< 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với \(\dfrac{m}{2}=1\Leftrightarrow m=2\) : (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với \(1< \dfrac{m}{2}< 5\)\(\Leftrightarrow2< m< 10\)
- Với \(\dfrac{m}{2}=5\Leftrightarrow m=10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với \(\dfrac{m}{2}>5\Leftrightarrow m>10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
c) Điểm cực đại (-2, 5), điểm cực tiểu (0, 1).
Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: 1\(y-14=x-2\Leftrightarrow y=x+12\).
a) y = x3 + 3x2 + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 + 6x = 3x(x+ 2)
y’=0 ⇔ x = 0, x = -2
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b) Số nghiệm của phương trình x^3+3x^2+1=m/2chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y=m/2 (đường thẳng (d) vuông góc với Oy và cắt Oy tại )
Từ đồ thị ta thấy:
- Với m/2<1⇔m<2: (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với m/2=1⇔ m = 2: (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm
- Với 1<m/2<5⇔ 2<m
- Với m/2=5⇔m=10: (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với m/2>5⇔m>10 : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
c) Điểm cực đại (-2, 5), điểm cực tiểu (0, 1).
Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: y−14=x−2⇔y=−2x+1
a) y= -x4 + 2mx2 – 2m + 1(Cm). Tập xác định: D = R
y ‘ = -4x3 + 4mx = -4x (x2 – m)
- Với m ≤ 0 thì y’ có một nghiệm x = 0 và đổi dấu + sang – khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một cực đại là x = 0
Do đó, hàm số có 2 cực trị tại x = ± √m và có một cực tiểu tại x = 0
b) Phương trình -x4 + 2mx2 – 2m + 1 = 0 luôn có nghiệm x = ± 1 với mọi m nên (Cm) luôn cắt trục hoành.
c) Theo lời giải câu a, ta thấy ngay:
với m > 0 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu.
a) Xét hàm số y = f(x)=12x4−3x2+32f(x)=12x4−3x2+32 (C) có tập xác định: D = R
y’ = 2x3 – 6x = 2x(x2 – 3)
y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ±√3
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b)
y’’ = 6x2 – 6x
y’’ = 0 ⇔ 6x2 – 6x = 0 ⇔ x = ± 1
y’(-1) = 4, y’’(1) = -4, y(± 1) = -1
Tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1, -1) là : y = 4(x+1) – 1= 4x+3
Tiếp tuyến của (C) tại điểm (1, -1) là: y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3
c) Ta có: \(x^4-6x^2+3=m\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{2}-3x^2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{m}{2}\).
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{m}{2}\).
Dễ thấy:
m < -6: ( 1) vô nghiệm
m = -6 : (1) có 2 nghiệm
-6 < m < 3: (1) có 4 nghiệm
m = 3: ( 1) có 3 nghiệm
m > 3: (1) có 2 nghiệm
5.
\(y'=1-\frac{4}{\left(x-3\right)^2}=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=2\\x-3=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1< 3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
BBT:
Từ BBT ta có \(y_{min}=y\left(5\right)=7\)
\(\Rightarrow m=7\)
3.
\(y'=-2x^2-6x+m\)
Hàm đã cho nghịch biến trên R khi và chỉ khi \(y'\le0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=9+2m\le0\)
\(\Rightarrow m\le-\frac{9}{2}\)
4.
\(y'=x^2-mx-2m-3\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi \(y'\ge0;\forall x>-2\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx-2m-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-3\ge m\left(x+2\right)\Leftrightarrow m\le\frac{x^2-3}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{x>-2}\frac{x^2-3}{x+2}\)
Xét \(g\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x+2}\) trên \(\left(-2;+\infty\right)\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{x^2+4x+3}{\left(x+2\right)^2}=0\Rightarrow x=-1\)
\(g\left(-1\right)=-2\Rightarrow m\le-2\)
Câu 1: Xét trên miền [1;4]
Do \(f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f'\left(x\right)\ge0\)
\(x\left(1+2f\left(x\right)\right)=\left[f'\left(x\right)\right]^2\Leftrightarrow x=\frac{\left[f'\left(x\right)\right]^2}{1+2f\left(x\right)}\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\sqrt{x}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\int\frac{f'\left(x\right)dx}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\int\sqrt{x}dx\Leftrightarrow\int\left(1+2f\left(x\right)\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(f\left(x\right)\right)=\int x^{\frac{1}{2}}dx\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\)
Do \(f\left(1\right)=\frac{3}{2}\Rightarrow\sqrt{1+2.\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}.1\sqrt{1}+C\Rightarrow C=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\)
Đến đây có thể bình phương chuyển vế tìm hàm \(f\left(x\right)\) chính xác, nhưng dài, thay luôn \(x=4\) vào ta được:
\(\sqrt{1+2f\left(4\right)}=\frac{2}{3}4.\sqrt{4}+\frac{4}{3}=\frac{20}{3}\Rightarrow f\left(4\right)=\frac{\left(\frac{20}{3}\right)^2-1}{2}=\frac{391}{18}\)
Câu 2:
Diện tích hình phẳng cần tìm là hai miền đối xứng qua Oy nên ta chỉ cần tính trên miền \(x\ge0\)
Hoành độ giao điểm: \(sinx=x-\pi\Rightarrow x=\pi\)
\(S=2\int\limits^{\pi}_0\left(sinx-x+\pi\right)dx=4+\pi^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2a+b^3=9\)
Mình có 2 cách giải bài toán này nha.
Cách 1: Giải theo kiểu trắc nghiệm.
Có f'(x)=x2(x-9)(x-4)2 \(\Rightarrow f\left(x^2\right)=x^4\left(x^2-9\right)\left(x^2-4\right)^2\)(1)
Sau đó, bạn chọn chế độ Table trên máy tính Casio (hoặc Vinacal)
Bạn nhập hàm f(x) trong máy là phương trình (1), sau đó bấm "=",bỏ qua hàm g(x), chọn Start là 1 trong những cái đáp án của đề á, sau đó bấm "=", End cũng tương tự vậy, Step thì bạn tự ước lượng thử, mình hay chọn 0,5.
Vd: Đáp án A thì bạn cho Start là 1, End là 5 và Step là 0,5.
Sau đó, đề hỏi là hàm đồng biến thì bạn xem bên f(x) mang giá trị dương hết trên khoảng mà bạn nhập thì đáp án đó. Và ngược lại nha.
Cách 2: Giải "bộ"
\(y'=2xf'\left(x^2\right)\)
Đặt t=x2 (0<t), ta có: y'=2\(\sqrt{t}f'\left(t\right)\)
Bạn tự vẽ giúp mình bảng biến thiên dựa theo f'(x) đề cho nhé!
Để hàm số nghịch biến thì, f'(t)<0.
Nhìn bảng biến thiên, bạn sẽ thấy f'(t)<0 khi và chỉ khi 0<t<9 (Bỏ trường hợp t<0 vì điều kiện ban đầu là t>0)
=> 0<x2<9 <=> -3<x<3
Vậy đáp án là câu D á.
* Bạn giải cách 1 bấm máy của mình cũng ra D á. Thử xem nhé!
Ta có : \(y'=\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}\)
Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C)
\(d:y=\frac{x_0^2-2_0x}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0^2-x_0+1}{x_0-1}\)
a) Vì d song song với đường thẳng \(\Delta:y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}\) nên ta có :
\(\frac{x_0^2-2_0x}{\left(x_0-1\right)^2}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x_0^2-2_0x-3=0\Leftrightarrow x_0=-1;x_0=3\)
* \(x_0=-1\) phương trình tiếp tuyến : \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\)
* \(x_0=3\) phương trình tiếp tuyến : \(y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\)
b) Đường thẳng \(\Delta_m\) có hệ số góc \(k_m=\frac{1}{m}\)
Số tiếp tuyến thỏa mãn bài toán chính là số nghiệm của phương trình :
\(y'.k_m=-1\Leftrightarrow\frac{m\left(x^2-2x\right)}{\left(x-1\right)^2}=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+1=0\left(1\right)\)
* Nếu m = - 1 suy ra (1) vô nghiệm, suy ra không có tiếp tuyến nào
* Nếu \(m\ne-1\), suy ra (1) có \(\Delta'=m\left(m+1\right)\) và (1) có nghiệm \(x=1\Leftrightarrow m=0\)
+ Khi \(\left[\begin{array}{nghiempt}m>0\\m< -1\end{array}\right.\) suy ra (*) có 2 nghiệm phân biệt nên có 2 tiếp tuyến
+ Khi \(-1< m\le0\) thì (*) vô nghiệm nên không có tiếp tuyến nào
Chọn B