Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\cdot3x^2+2x-\left(m+1\right)=x^2+2x-m-1\)
\(\Delta=2^2-4\left(-m-1\right)=4m+8\)
Để f'(x)>=0 với mọi x thì 4m+8<=0 và 1>0
=>m<=-2
=>\(m\in\left\{-10;-9;...;-2\right\}\)
=>Có 9 số
a/ \(y'=3mx^2-2\left(m+1\right)x+3m\)
Xet m=0 ko thoa man
Xet m khac 0
\(y'\ge0\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-9m^2\le0\Leftrightarrow8m^2-2m-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+8\le0\left(vl\right)\) => ko ton tai m thoa man
b/ \(y'=mx^2-2mx+2m-1\)
m=0 ko thoa man
Xet m khac 0
\(y'\ge0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-m\left(2m-1\right)\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-m\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\ge1\)
1.
\(f'\left(x\right)=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)\)
\(f'\left(x\right)-6x=3x^2-3.2\left(m+1\right)x+3\left(2m-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m-1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-1>2m\left(x-1\right)\)
Do \(x>2\Rightarrow x-1>0\) nên BPT tương đương:
\(\dfrac{x^2-2x-1}{x-1}>2m\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2-2}{x-1}>2m\)
Đặt \(t=x-1>1\Rightarrow\dfrac{t^2-2}{t}>2m\Leftrightarrow f\left(t\right)=t-\dfrac{2}{t}>2m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)\) với \(t>1\) : \(f'\left(t\right)=1+\dfrac{2}{t^2}>0\) ; \(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t\right)>f\left(1\right)=-1\Rightarrow\) BPT đúng với mọi \(t>1\) khi \(2m< -1\Rightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)
2.
Thay \(x=0\) vào giả thiết:
\(f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\Leftrightarrow f^2\left(2\right)\left[f\left(2\right)-2\right]=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(2\right)=2\end{matrix}\right.\)
Đạo hàm 2 vế giả thiết:
\(-3f^2\left(2-x\right).f'\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f'\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g'\left(x\right)+36=0\) (1)
Thế \(x=0\) vào (1) ta được:
\(-3f^2\left(2\right).f'\left(2\right)-12f\left(2\right).f'\left(2\right)+36=0\)
\(\Leftrightarrow f^2\left(2\right).f'\left(2\right)+4f\left(2\right).f'\left(2\right)-12=0\) (2)
Với \(f\left(2\right)=0\) thế vào (2) \(\Rightarrow-12=0\) ko thỏa mãn (loại)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=2\)
Thế vào (2):
\(4f'\left(2\right)+8f'\left(2\right)-12=0\Leftrightarrow f'\left(2\right)=1\)
\(\Rightarrow A=3.2+4.1\)
để hàm số xác định với mọi x thuộc R thì
\(2m\cos^2x+\left(2-m\right)\cos x+4m-1\ge0\Leftrightarrow m\left(2cos^2x-cosx+4\right)\ge1-2cosx\)
mà \(2cos^2x-cosx+4>0\) nên :
\(m\ge\frac{1-2cosx}{2cos^2x-cosx+4}\)\(\Leftrightarrow\)\(m\ge max\left(\frac{1-2cosx}{2cos^2x-cosx+4}\right)=\frac{3}{7}\)
vậy điều kiện của m là : \(m\ge\frac{3}{7}\)
Lời giải:
\(y'=\frac{2}{3}x+m\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow m\geq -\frac{2}{3}x, \forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow m\geq \max (\frac{-2}{3}x), \forall x\in\mathbb{R}\)
Vì $\frac{-2}{3}x$ không có max với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên không tồn tại $m$
Hàm số xác định trên R khi và chỉ khi:
\(sin^2x+\left(2m-3\right)cosx+3m-2>0;\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow-cos^2x+\left(2m-3\right)cosx+3m-1>0\)
\(\Leftrightarrow t^2-\left(2m-3\right)t-3m+1< 0;\forall t\in\left[-1;1\right]\)
\(\Leftrightarrow t^2+3t+1< m\left(2t+3\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}< m\) (do \(2t+3>0;\forall t\in\left[-1;1\right]\))
\(\Leftrightarrow m>\max\limits_{\left[-1;1\right]}\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}\)
Ta có: \(\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}=\dfrac{t^2+t-2+2t+3}{2t+3}=\dfrac{\left(t-1\right)\left(t+2\right)}{2t+3}+1\)
Do \(-1\le t\le1\Rightarrow\dfrac{\left(t-1\right)\left(t+2\right)}{2t+3}\le0\)
\(\Rightarrow\max\limits_{\left[-1;1\right]}\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}=1\)
\(\Rightarrow m>1\)
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) có 2 nghiệm thỏa mãn \(x_1< k< x_2\) khi và chỉ khi \(a.f\left(k\right)< 0\)
Đây là nguyên lý của tam thức bậc 2 từ lớp 10 thì phải
Phương Anh Đỗ
Nhìn đề đoán là \(y=\frac{1}{3}mx^3+mx^2+\left(m+1\right)x+2\)
\(y'=mx^2+2mx+m+1\)
a/ Với \(m=0\) thỏa mãn
Với \(m\ne0\) để \(y'>0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'=m^2-m\left(m+1\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>0\)
b/ Để \(y'=0\) có 2 nghiệm trái dấu
\(\Leftrightarrow m\left(m+1\right)< 0\Rightarrow-1< m< 0\)
c/ \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=-m>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\frac{m+1}{m}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -1\)
d/ \(x_1< 1< x_2\)
\(\Rightarrow m.y'\left(1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m\left(m+2m+m+1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m\left(4m+1\right)< 0\Rightarrow-\frac{1}{4}< m< 0\)
Lời giải:
$y=\frac{1}{3}mx^2-\frac{1}{2}x^2+mx$
$\Rightarrow y'=\frac{2}{3}mx-x+m$
Để $y'>0, \forall x\in\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow x(\frac{2}{3}m-1)+m>0, \forall x\in\mathbb{R}$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{3}m-1=0\\ m>0\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)