Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x\)
\(y'=0\Leftrightarrow4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Leftrightarrow x\left[x^2-\left(m-1\right)\right]=0\)
Trường hợp 1 : nếu \(m-1\le0\Leftrightarrow m\le1\), hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\), vậy \(m\le1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trường hợp 2 : nếu \(m-1>0\Leftrightarrow m>1\), hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\sqrt{m-1};0\right)\) và \(\left(\sqrt{m-1};+\infty\right)\)
Để hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) thì \(\left(\sqrt{m-1}\le1\Leftrightarrow m\le2\right)\)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) \(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;2\right)\)
Ta có : \(y'=\frac{m^2-4}{\left(x-m\right)^2},x\ne m\) nên hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-\(\infty\);3] khi và chỉ khi \(\begin{cases}y'>0,x\in\left(-\infty;3\right)\\m\notin\left(-\infty;3\right)\end{cases}\)\(\begin{cases}m^2-4>0\\m>3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\)m<-2 hoặc m>2 và m>3 <=> m>3
Vậy m>3 thì hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty\);3]
y = 2x2 + 2mx + m -1 (Cm). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.
a) m = 1 ⇒ y = 2x2 + 2x
Tập xác định D = R
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=+\infty\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
b) Tổng quát y = 2x2 + 2mx + m -1 có tập xác định D = R
y′=4x+2m=0⇔\(x=-\dfrac{m}{2}\).
Suy ra y’ > 0 với \(x>-\dfrac{m}{2}\) và \(y'< 0\) với \(x< -\dfrac{m}{2}\) tức là hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\dfrac{-m}{2}\right)\) và đồng biến trên \(\left(-\dfrac{m}{2};+\infty\right)\)
i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (-1, +∞) thì phải có điều kiện (−1,+∞)∈(−\(\dfrac{m}{2}\),+∞)
Hay \(-\dfrac{m}{2}< -1\)\(\Leftrightarrow m>2\)
ii) Hàm số đạt cực trị tại \(x=\dfrac{m}{2}\)
Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1, +∞), ta phải có:
\(-\dfrac{m}{2}\in\left(-1;+\infty\right)\) hay \(-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m< 2\).
c) (Cm) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt
⇔ phương trình 2x2 + 2mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
Δ’ = m2 – 2m + 2 = (m-1)2 + 1 > 0 ∀m
Vậy (Cm) luôn cắt O x tại hai điểm phân biệt.
Ta có \(y'=-2x^2+2\left(m+1\right)x+2m\)
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) \(\Leftrightarrow y'\ge0,x\in\left(0;2\right)\) (*)
Vì y'(x) liên tục tại x=0 và x=2 nên (*) \(\Leftrightarrow y'\ge0,x\in\left[0;2\right]\)
\(\Leftrightarrow-2x^2+2\left(m+1\right)x+2m\ge0,x\in\left[0;2\right]\)
\(\Leftrightarrow m\left(x+1\right)\ge x^2-x,x\in\left[0;2\right]\Leftrightarrow m\ge g\left(x\right),x\in\left[0;2\right]\); (trong đó \(g\left(x\right)=\frac{x^2-x}{x+1}\))
\(\Leftrightarrow m\ge Max_{\left[0;2\right]}g\left(x\right)\)
Xét hàm số \(g\left(x\right)=\frac{x^2-x}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\)
\(\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{2},x\in\left[0;2\right]\)
\(g\left(0\right);g\left(2\right)=\frac{2}{3};g\left(-1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow Max_{\left(0;+\infty\right)}g\left(x\right)=\frac{2}{3}\) tại x=2
Vậy \(m\ge\frac{2}{3}\) thì hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)
Ta có : \(y'=-2x^2+2\left(m+1\right)x+2m,\Delta'=m^2+6m+1\)
Suy ra hàm đồng biến trên khoảng (0; 2) \(\Leftrightarrow y'\ge0,x\in\left(0;2\right)\)(*)
Trường hợp 1 : Nếu \(\Delta'\le0\Leftrightarrow m^2+6m+1\le0\Leftrightarrow-3-2\sqrt{2}\le m\le-3+2\sqrt{2}\)
theo định lí về dấu tam thức bậc 2 ta có \(y'\le0,x\in R\) => (*) không thỏa mãn
Trường hợp 2 : Nếu \(\Delta'>0\Leftrightarrow m^2+6m+1>0\Leftrightarrow m\le-3-2\sqrt{2}\) hoặc \(m\ge-3+2\sqrt{2}\) thì (*) đúng
<=> phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) (\(x_1\)>\(x_2\)) và thỏa mãn \(x_1\le0<2\le x_2\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta>0\\x_1\le0<2\le x_2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\le0\\\Delta>0\\\left(x_1-0\right)\left(x_2-0\right)\le0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\le0\\\Delta>0\\x_1x_2\le0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{2}{3}\)
Kết hợp trường hợp 1 và trường hợp 2 ta có \(m\ge\frac{2}{3}\) thì hàm đồng biến trên khoảng (0;2)
a) Tập xác định: D = R\{m}
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;m),(m;+∞)(−∞;m),(m;+∞)khi và chỉ khi:
y′=−m2+4(x−m)2>0⇔−m2+4>0⇔m2<4⇔−2<m<2y′=−m2+4(x−m)2>0⇔−m2+4>0⇔m2<4⇔−2<m<2
b) Tập xác định: D = R\{m}
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng khi và chỉ khi:
y′=−m2+5m−4(x+m)2<0⇔−m2+5m−4<0y′=−m2+5m−4(x+m)2<0⇔−m2+5m−4<0
[m<1m>4[m<1m>4
c) Tập xác định: D = R
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:
y′=−3x2+2mx−3≤0⇔′=m2−9≤0⇔m2≤9⇔−3≤m≤3y′=−3x2+2mx−3≤0⇔′=m2−9≤0⇔m2≤9⇔−3≤m≤3
d) Tập xác định: D = R
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:
y′=3x2−4mx+12≥0⇔′=4m2−36≤0⇔m2≤9⇔−3≤m≤3
=> y' = 0 ⇔ x=-1 hoặc x=1.
