Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
hoành độ giao điểm là nghiệm của pt
\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1=2mx-4m+3\Leftrightarrow x^3-3mx^2+4mx-3x-2+4m=0\Leftrightarrow x^3-3x-2-m\left(3x^2-4x+4\right)=0\)
giải hệ pt ta có \(C_m\) luôn đi qua điểm A là nghiệm của hệ pt sau
\(\begin{cases}3x^2-4x+4=0\\x^3-3x-2=0\end{cases}\)
ta đc điều phải cm
vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left(-1;\frac{5}{2}\right)\) nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình sau: \(\frac{a+b}{-2}=\frac{5}{2}\Rightarrow a+b=-5\)(*)
ta tính y' có:
\(y'=\frac{\left(2ax-b\right)\left(x-1\right)-\left(ax^2-bx\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac{2ax^2-2ax-bx+b-ax^2+bx}{\left(x-1\right)^2}=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\)
vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm O(0;0) bằng 3 nên \(y'\left(O\right)=\frac{b}{\left(0-1\right)^2}=-3\Rightarrow b=-3\)
thay b=-3 vào (*) ta tìm được a=-2
vậy a=-2;b=-3
vì (C) đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn pt \(y=\frac{ax^2-bx}{x-1}\) ta có \(\frac{5}{2}=\frac{a+b}{-2}\Rightarrow a+b=-5\)
vì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm O có hệ số góc =-3 suy ra y'(O)=-3
ta có \(y'=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\) ta có y'(O)=b=-3 suy ra a=-2
vậy ta tìm đc a và b
đây là dạng bài viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm
cách làm tương tự như trên
ta tính \(y'=4x^3-4x=4x\left(x^2-1\right)\)
gọi \(A\left(a,b\right)\) là tọa độ tiếp điểm ta có \(y'\left(a\right)=4a^3-4a=4a\left(a^2-1\right)\)
phương trình tiếp tuyến tại A là \(y=4a\left(a^2-1\right)\left(x-a\right)+b\)(*)
vì tiếp tuyến qua điểm \(A\left(0;2\right)\)
suy ra \(a,b\) là nghiệm của hệ pt
\(\begin{cases}b=a^4-2a^2+2\\2=4a\left(a^2-1\right)\left(0-a\right)+b\end{cases}\)
gải hệ pt ta đc \(a=0;a=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\)
thay \(a,b\) vào pt (*) trên ta đc 3 tiếp tiếp cần tim
hoành độ giao điểm là nghiệm của pt
\(x^3+3x^2+mx+1=1\Leftrightarrow x\left(x^2+3x+m\right)=0\)
\(x=0;x^2+3x+m=0\)(*)
để (C) cắt y=1 tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\(\Delta=3^2-4m>0\) và \(0+m.0+m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\)
từ pt (*) ta suy ra đc hoành độ của D, E là nghiệm của (*)
ta tính \(y'=3x^2+6x+m\)
vì tiếp tuyến tại Dvà E vuông góc
suy ra \(y'\left(x_D\right).y'\left(x_E\right)=-1\)
giải pt đối chiếu với đk suy ra đc đk của m
\(\left(C_1\right)\) có dạng \(y=x^3-3x\)
Gọi điểm A(a;2) là điểm kẻ đc 3 tiếp tuyến đến C do đề bài yêu cầu tìm điểm thuộc đường thẳng y=2
ta tính \(y'=3x^2-3\)
gọi \(B\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm
phương trình tiếp tuyến tại điểm B có dạng
\(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\)
suy ra ta có \(y=\left(3x^2_0-3\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-3x_0\)
do tiếp tuyến đi qua điểm A suy ra tọa độ của A thỏa mãn pt tiếp tuyến ta có
\(2=\left(3x^2_0-3\right)\left(a-x_0\right)+x_0^3-3x_0\Leftrightarrow-\left(3x^2_0-3\right)\left(a-x_0\right)+x_0^3-3x_0-2=0\Leftrightarrow-3\left(x_0-1\right)\left(1+x_0\right)\left(a-x_0\right)+\left(1+x_0\right)^2\left(x_0-2\right)=0\)(*)
từ pt * suy ra đc 1 nghiệm \(x_0+1=0\Rightarrow x_0=-1\) hoặc\(-3\left(x_0-1\right)\left(a-x_0\right)+\left(1+x_0\right)\left(x_0-2\right)=0\)(**)
để qua A kẻ đc 3 tiếp tuyến thì pt (*) có 3 nghiệm phân biệt
suy ra pt (**) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
từ đó ta suy ra đc a để pt có 2 nghiệm phân biệt khác -1
suy ra đc tập hợ điểm A để thỏa mãn đk bài ra
Đáp án B
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k, đi qua M(m;2) là y - 1 = k(x - m) (d)
Vì (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi k = f ' x k x - m + 2 = - x 3 + 6 x 2 + 2 ⇔ k = - 3 x 2 + 12 x k x - m = - x 3 + 6 x 2
⇔ - 3 x 2 + 12 x x - m + x 3 - 6 x 2 = 0 ⇔ [ x = 0 - 3 x + 12 x x - m + x 2 - 6 x = 0
⇔ [ x = 0 - 3 x 2 + 3 m x + 12 x - 12 m + x 2 - 6 x = 0 ⇔ [ x = 0 2 x 2 - 3 m + 2 x + 12 m = 0 *
Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) khi và chỉ khi:
TH1. Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0 ⇔ ∆ = 9 m + 2 2 - 96 m = 0 ⇔ [ m = 6 m = 2 3
TH2. Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 0, nghiệm còn lại khác 0 ⇔ 12 m = 0 ∆ > 0 ⇔ m = 0
Vậy m = 0 ; 2 3 ; 6 là các giá trị cần tìm → ∑ m = 0 + 2 3 + 6 = 20 3 .