Cho hàm số y = a x 3 + b x 2 + c x + d...

Cho hàm số y = a x 3 + b...

NH

Nguyễn Hữu Tín

22 tháng 4 2016

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+m^2x+m$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d:$y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

1

NM

Nguyễn Minh Nguyệt

23 tháng 4 2016

Ta có : $y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow\left(1\right)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

$\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}$

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : $y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2$

=> Các điểm cực trị là :

$A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);$

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

$\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)$

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết $d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0$

Khi đó $I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I$ là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Đúng(0)

PT

Phan Thị Lê Anh

29 tháng 4 2016

Cho hàm số $y=x^3+\left(m-1\right)x^2+m\left(m-3\right)x\left(1\right)$ với m là tham số a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm hai phía đối với trục tungb) Khi m = 1 hàm số (1) có đồ thị là (C). Tìm tọa độ các điểm M (khác gốc tọa độ O) trên (C) sao cho tiếp tuyến $\Delta$ của (C) tại M vuông góc với đường thẳng...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

1

TK

Trần Khánh Vân

29 tháng 4 2016

a) Ta có : $y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)$

Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : $3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

$\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3$

Vậy $0< m< 3$ là giá trị cần tìm

b) Khi m = 1 ta có : $y=x^3-2x$.

Gọi $M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0$

Ta có $y'=3x^2-2$ nên hệ số góc của $\Delta$ là $y'\left(a\right)=3a^2-2$

Ta có $\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)$ nên hệ số góc đường thẳng OM là $k=a^2-2$

Do đó : $\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1$

$\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0$

$M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.$(Thỏa mãn)

Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :$M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)$

Đúng(0)

TN

Trang Nguyen

13 tháng 12 2016

Cho hàm số $y=-x^3+(m-1)x^2-m+2 (*) $

a. Với giá trị nào của m để hàm số (*) có cức đại và cực tiểu.

b. Với giá trị nào của m để đồ thị hàm số (*) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

c. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số (*) đi qua.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

3

AH

Akai Haruma

Giáo viên

13 tháng 12 2016

a) Hàm có cực đại, cực tiểu khi mà $y'=-3x^2+2(m-1)x=x[2(m-1)-3x]$ có ít nhất hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2(m-1)-3x=0$ có một nghiệm khác $0$ hay $m\neq 1$

b) Đồ thị hàm số $(\star)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi mà phương trình $y=-x^3+(m-1)x^2-m+2=0$ có $3$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow (1-x)[x^2+x(2-m)+(2-m)]=0$ có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow x^2+x(2-m)+(2-m)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$

Do đó ta cần có $\left\{\begin{matrix}1+2-m+2-m=5-2m\neq 0\\ \Delta =(2-m)^2-4(2-m)>0\end{matrix}\right.$

Vậy để thỏa mãn đề bài thì $m\neq \frac{5}{2}$ và $m>2$ hoặc $m<-2$

c) Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua là $(x_0,y_0)$

$y_0=-x_0^3+(m-1)x_0^2-m+2$ $\forall m\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m(x_0^2-1)-(x_0^3+x_0^2+y_0-2)=0$ $\forall m\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow\left{\begin{matrix}x_0^2=1\\ x_0^3+x_0^2+y_02=0\end{matrix}\right.\begin{bmatrix}(x_0,y_0)=(1;0)\\ (x_0,y_0)=(-1;2)\end{bmatrix}$

Đúng(1)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

13 tháng 12 2016

Viết lại đoạn cuối:

$\Rightarrow\left{\begin{matrix}x_0^2=1\\x_0^3+x_0^2+y_0-2=0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \begin{bmatrix}(x_0,y_0)=(1;0)\\ (x_0,y_0)=(-1;2)\end{bmatrix}$

Đúng(0)

DT

Đặng Thị Hạnh

23 tháng 4 2016

Cho hàm số $y=x^4+4mx^3+3\left(m+1\right)x^2+1$. Tìm m để

a) Hàm số có 3 cực trị

b) Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

1

PT

Phạm Thảo Vân

23 tháng 4 2016

Ta có : $y'=4x^3+12mx^2+6\left(m+1\right)x=2x\left(2x^2+6mx+3\left(m+1\right)\right)$

$\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=2x^2+6mx+3m+3=0$

a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi $f\left(x\right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=3\left(3m^2-2m-2\right)>0\\f\left(0\right)\ne0\end{cases}$$\Leftrightarrow\begin{cases}m< \frac{1-\sqrt{7}}{3}\cup m>\frac{1+\sqrt{7}}{3}\\m\ne-1\end{cases}$

b) Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

$\Leftrightarrow$ hàm số không có 3 cực trị $\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{7}}{3}\le m\le\frac{1+\sqrt{7}}{3}$

Đúng(0)

NT

Nguyễn Tiến Dũng

21 tháng 10 2020

câu b m= -1 hàm số có 1 cực tiểu duy nhất

Đúng(0)

HP

Hòa Phạm

24 tháng 9 2016

Đại ca, Đại tỉ nào giúp muội muội này với... Làm hoài ko ra ( câu b ạ)Cho hàm số $y=x^3+mx^2-1$.a) Chứng minh rằng hàm số trên luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m khác 0.b) CMR đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của m.c)Tìm m để phương trình $x^3+mx^2-1=0$ có ba nghiệm phân...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

21 tháng 2 2017

Giải:

a) Xét $y'=3x^2+2mx$

Ta thấy $y'=3x^2+2mx=0$ có $\Delta'=m^2>0\forall m\neq 0$ nên luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng nghĩa với hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi $m\neq 0$

b) Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của $m$ nghĩa là phương trình $x^3+mx^2-1=0$ luôn có nghiệm dương với mọi $m$

Xét hàm $y$ liên tục trên tập xác định.

Nếu $m>0$ có $\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(m+1)=(m+1)^3+m(m+1)^2-1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(m+1)<0$

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng $(0;m+1)$, tức là nghiệm dương.

Nếu $m<0$ có $\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(1-m)=m^2-2m>0\forall m<0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(1-m)<0$

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng $(0,1-m)$ , tức nghiệm dương

Từ hai TH ta có đpcm.

c) Để pt có $3$ nghiệm phân biệt thì $y'=3x^2+2mx$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $f(x_1)f(x_2)<0$

Kết hợp với định lý Viete:

$\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3+m(x_1^2+x_2^2)-1>0$

$\Leftrightarrow 4m^3-27>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Đúng(0)

SG

Sách Giáo Khoa

31 tháng 3 2017

Cho hàm số: $y = -x^4 + 2mx^2 – 2m + 1$ ( $m$ là tham số) có đồ thị $(C_m)$ a) Biện luận theo $m$ số cực trị của hàm số b) Với giá trị nào của $m$ thì $(C_m)$ cắt trục hoành? c) Xác định $m $ để $(C_m)$ có cực đại, cực...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

1

H

Hiiiii~

31 tháng 3 2017

a) y= -x⁴+ 2mx²– 2m + 1(C_m). Tập xác định: D = R

y ‘ = -4x³+ 4mx = -4x (x²– m)

- Với m ≤ 0 thì y’ có một nghiệm x = 0 và đổi dấu + sang – khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một cực đại là x = 0

Do đó, hàm số có 2 cực trị tại x = ± √m và có một cực tiểu tại x = 0

b) Phương trình -x⁴+ 2mx²– 2m + 1 = 0 luôn có nghiệm x = ± 1 với mọi m nên (C_m) luôn cắt trục hoành.

c) Theo lời giải câu a, ta thấy ngay:

với m > 0 thì đồ thị (C_m) có cực đại và cực tiểu.

Đúng(0)

PT

Phạm Thị Bích Thạch

25 tháng 3 2016

Cho hàm số : $y=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3+m\left(1\right)$

Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng $\sqrt{2}$ lần khoảng cách từ cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

1

TH

Thu Hiền

26 tháng 3 2016

Ta có : $y'=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)$

Để hàm số có cực trị thì phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow\Delta=1>0$ với mọi m

Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B (m+1; -2-2m)

Theo giả thiết ta có :

$OA=\sqrt{2}OB\Leftrightarrow m^2+6m+1\Leftrightarrow\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}$

Vậy có 2 giá trị m là $\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}$

Đúng(0)

D

daothugiang

14 tháng 8 2017

xA, xB lấy đâu vậy ạ?

Đúng(0)

ND

Nguyễn Đức Đạt

24 tháng 3 2016

Câu hỏi hay

Cho hàm số $y=x^3+\left(1-2m\right)x^2+\left(2-m\right)x+m+2$ (1) với m là tham số thực

Xác định m để đồ thị hàm số (1) đạt cực đại và cực tiểu, đồng thời có hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

1

PT

Phạm Thảo Vân

24 tháng 3 2016

$\Leftrightarrow y'=0$

có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1$<$x_2$<1

$\Leftrightarrow$$\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}$$\Leftrightarrow$$\frac{5}{4}$<m<$\frac{7}{5}$

Đúng(1)

NH

Nguyễn Hồng Anh

25 tháng 3 2016

Cho hàm số :

$y=x+m+\frac{m}{x-2}$

Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đường thẳng d : x-y+2 =0 những khoảng cách bằng nhau.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

1

TH

Thu Hiền

26 tháng 3 2016

Với $x\ne2$ ta có $y=1-\frac{m}{\left(x-2\right)^2}$

Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow$ phương trình $\left(x-2\right)^2-m=0$ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 $\Leftrightarrow m>0$

Với m>0 phương trình (1) có 2 nghiệm là :

$x_1=2+\sqrt{m}\Rightarrow y_1=2+m+2\sqrt{m}$

$x_2=2-\sqrt{m}\Rightarrow y_2=2+m-2\sqrt{m}$

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $A\left(2-\sqrt{m};2+m-2\sqrt{m}\right);B\left(\left(2+\sqrt{m};2+m+2\sqrt{m}\right)\right)$

Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình :

$\left|2-m-\sqrt{m}\right|=\left|2-m+\sqrt{m}\right|$

$\Leftrightarrow\begin{cases}m=0\\m=2\end{cases}$

Đối chiếu điều kiện thì m=2 thỏa mãn bài toán. Vậy yêu cầu bài toán là m=2

Đúng(1)

TQ

Trương Quang Đức

24 tháng 3 2016

Câu hỏi hay

Cho $f\left(x\right)=\frac{2}{3}x^3+\left(\cos a-3\sin a\right)x^2-8\left(1+\cos a\right)x+1$

a) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

b) Giả sử hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$. Chứng minh rằng $x_1^2+x_2^2\le18$

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 12

2

NM

Nguyễn Minh Hằng

24 tháng 3 2016

a) Xét phương trình : $f'\left(x\right)=2x^2+2\left(\cos a-3\sin a\right)x-8\left(1+\cos2a\right)=0$

Ta có : $\Delta'=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+16\left(1+\cos2a\right)=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+32\cos^2$, $a\ge0$ với mọi a

Nếu $\Delta'=0\Leftrightarrow\cos a-3\sin a=\cos a=0\Leftrightarrow\sin a=\cos a\Rightarrow\sin^2a+\cos^2a=0$ (Vô lí)

Vậy $\Delta'>0$

với mọi a $\Rightarrow f'\left(x\right)=0$

có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và hàm số có cực đại, cực tiểu

b) Theo Viet ta có $x_1+x_2=3\sin a-\cos a$

$x_1x_2=-4\left(1+\cos2a\right)$

$x^2_1+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(3\sin a-\cos a\right)^2+8\left(1+\cos2a\right)=9+8\cos^2a-6\sin a\cos a$

$=9+9\left(\sin^2a+\cos^2a\right)-\left(3\sin a+\cos a\right)^2=18-\left(3\sin a+\cos2a\right)\le18$

Đúng(0)

TL

Tào lê hiếu

16 tháng 3

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP