Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|f\left(x\right)\right|=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2sin\dfrac{1}{x}\right|< \lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2\right|=0\).
Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0\).
\(f\left(0\right)=A\).
Để hàm số liên tục tại \(x=0\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\Leftrightarrow A=0\).
Để xét hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) ta xét giới hạn:
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^2sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}xsin\dfrac{1}{x}=0\).
Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x=0\).
a) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 = 1. Ta có:
∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = (1 + ∆x)2 + (1 + ∆x) - (12+ 1) = 3∆x + (∆x)2;
= 3 + ∆x;
=
(3 + ∆x) = 3.
Vậy f'(1) = 3.
b) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 = 2. Ta có:
∆y = f(2 + ∆x) - f(2) = -
= -
;
= -
;
=
-
= -
.
Vậy f'(2) = - .
c) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 = 0.Ta có:
∆y = f(∆x) - f(0) = - ( -1) =
;
=
;
=
= -2.
Vậy f'(0) = -2
Lời giải:
a) y' = =
, y" =
=
=
.
b) y' = =
;
y" = =
=
.
c) y' = ; y" =
=
=
.
d) y' = 2cosx.(cosx)' = 2cosx.(-sinx) = - 2sinx.cosx = -sin2x,
y" = -(2x)'.cos2x = -2cos2x.
Ta xét bảng sau đây :
x 1 2 x-1 2 x-2 f(x) 1-x 4-2x 5-3x x-1 4-2x 3-x x-1 2x-4 3x-5
Ta có ngay với \(x\ne1\) và \(x\ne2\)
\(f'\left(x\right)=\begin{cases}-3;x< 1\\-1;1< x< 2\\3;x>2\end{cases}\)
Bây giờ xét tại \(x=1\), ta có
\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{3-\left(1+\Delta x\right)-2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1\)
\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\ne\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{5-3\left(1+\Delta x\right)-2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{-3\Delta x}{\Delta x}=-3\)
Như vậy \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\ne\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\)
Nghĩa là không tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x=1\)
Tương tự không tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x=2\)
\(f'\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}\Rightarrow f'\left(\sqrt{2}\right)=-\dfrac{1}{\left(\sqrt{2}\right)^2}=-\dfrac{1}{2}\)