Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Q=\dfrac{2002}{a}+\dfrac{2017}{b}+2996a-5501b=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-\left(5012a+7518b\right)\)
\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-2506\left(2a+3b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2002}{a}+8008\ge2\sqrt{\dfrac{2002}{a}.8008}=8008\\\dfrac{2017}{b}+2017b\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{b}.2017b}=4034\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(2a+3b=4\Rightarrow-\left(2a+3b\right)=-4\Leftrightarrow-2506\left(2a+3b\right)=-10024\)
\(\Rightarrow Q\ge8008+4034-10024=2018\)
\(ĐTXR\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)
cac cap tam giac co dien h bang nhau la AOB va BOC. Vi co cap song song voi nhau va cat toi diem O
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y) (Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Được : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Vậy Min P = \(\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)
Cho $a, b \geq 0$ thỏa mãn $a + b + 2ab = 4$.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$$
P = a^3 + b^3
$$
---
### Bước 1: Phân tích điều kiện
Điều kiện cho $a,b \geq 0$:
$$
a + b + 2ab = 4
$$
---
### Bước 2: Sử dụng biến mới
Đặt $S = a + b$, $P = ab$ (lưu ý, P ở đây khác biểu thức cần tìm, ta tạm dùng $Q = ab$ để tránh nhầm lẫn).
Điều kiện:
$$
S + 2Q = 4 \implies Q = \frac{4 - S}{2}
$$
---
### Bước 3: Viết $a^3 + b^3$ theo $S, Q$
Ta có công thức:
$$
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = S^3 - 3Q S
$$
Thay $Q = \frac{4 - S}{2}$:
$$
a^3 + b^3 = S^3 - 3 \cdot \frac{4 - S}{2} \cdot S = S^3 - \frac{3S(4 - S)}{2} = S^3 - \frac{12S - 3S^2}{2}
$$
$$
= S^3 - 6S + \frac{3S^2}{2} = S^3 + \frac{3}{2}S^2 - 6S
$$
---
### Bước 4: Xác định miền giá trị của $S$
Vì $a,b \geq 0$, với $a,b$ là nghiệm của phương trình
$$
x^2 - Sx + Q = 0 \implies x^2 - Sx + \frac{4 - S}{2} = 0
$$
Phương trình có nghiệm thực không âm khi:
* $\Delta = S^2 - 4Q \geq 0$
* $a,b \geq 0$
Tính $\Delta$:
$$
\Delta = S^2 - 4 \cdot \frac{4 - S}{2} = S^2 - 2(4 - S) = S^2 - 8 + 2S = S^2 + 2S - 8
$$
Điều kiện $\Delta \geq 0$:
$$
S^2 + 2S - 8 \geq 0 \implies (S+4)(S-2) \geq 0
$$
Vì $a,b \geq 0 \implies S = a + b \geq 0$, nên ta lấy:
$$
S \geq 2
$$
Ngoài ra, $S$ còn phải thỏa điều kiện $Q = \frac{4-S}{2} \geq 0$ (vì $Q = ab \geq 0$):
$$
\frac{4 - S}{2} \geq 0 \implies S \leq 4
$$
---
### Vậy miền $S$ là:
$$
2 \leq S \leq 4
$$
---
### Bước 5: Tìm cực trị của $P(S) = S^3 + \frac{3}{2} S^2 - 6S$ trên đoạn $[2,4]$
Tính đạo hàm:
$$
P'(S) = 3S^2 + 3S - 6 = 3(S^2 + S - 2) = 3(S+2)(S-1)
$$
* $P'(S) = 0$ tại $S = -2$ (loại vì ngoài miền) và $S = 1$ (cũng ngoài miền).
Với $S \in [2,4]$, đạo hàm luôn dương vì:
* $S-1 > 0$
* $S+2 > 0$
Vậy $P(S)$ là hàm đồng biến trên $[2,4]$.
---
### Bước 6: Tính $P$ tại các điểm biên
* Tại $S=2$:
$$
P(2) = 2^3 + \frac{3}{2} \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 8 + \frac{3}{2} \cdot 4 - 12 = 8 + 6 - 12 = 2
$$
* Tại $S=4$:
$$
P(4) = 4^3 + \frac{3}{2} \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 = 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 - 24 = 64 + 24 - 24 = 64
$$
---
### Bước 7: Kết luận
* Giá trị nhỏ nhất của $a^3 + b^3$ là $2$, đạt khi $S = 2$.
* Giá trị lớn nhất của $a^3 + b^3$ là $64$, đạt khi $S = 4$.
---
### Bước 8: Tìm cặp $(a,b)$ tương ứng
* Với $S=2$, $Q = \frac{4 - 2}{2} = 1$, phương trình:
$$
x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0
$$
Vậy $a = b = 1$.
Giá trị nhỏ nhất $P = 1^3 + 1^3 = 2$.
* Với $S=4$, $Q = \frac{4 - 4}{2} = 0$, phương trình:
$$
x^2 - 4x + 0 = 0 \implies x(x - 4) = 0
$$
Vậy $a=0, b=4$ hoặc ngược lại.
Giá trị lớn nhất $P = 0^3 + 4^3 = 64$.
---
## **Kết quả:**
$$
\boxed{
\begin{cases}
\text{Giá trị nhỏ nhất của } a^3 + b^3 = 2, \text{ khi } a = b = 1 \\
\text{Giá trị lớn nhất của } a^3 + b^3 = 64, \text{ khi } (a,b) = (0,4) \text{ hoặc } (4,0)
\end{cases}
}
$$
Ồ sorry bạn nhiều, chỗ đấy bị lỗi kĩ thuật rồi, mình sửa lại nhé :
\(M\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Lại có : \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt{a^3b^3c^3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Do đó : \(M\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có : \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a\left(b+c\right)}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{b\left(a+c\right)}\) , \(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
Ta thấy : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(M=\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\) \(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vâỵ \(M_{min}=\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si): \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{1}{a\left(b+c\right).b\left(c+a\right).c\left(a+b\right)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(ab+ca\right)\left(bc+ab\right)\left(ca+bc\right)}}\)
\(\ge\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
P/s: Check giúp em xem có ngược dấu không:v
Cach khac
Dat \(\left(ab;bc;ca\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2\ge3\\xyz\le1\end{cases}}\)
Ta co:
\(A=\frac{1}{ab+b^2}+\frac{1}{bc+c^2}+\frac{1}{ca+a^2}\)
\(=\frac{1}{x+\frac{xy}{z}}+\frac{1}{y+\frac{yz}{x}}+\frac{1}{z+\frac{zx}{y}}\ge\frac{9}{3+xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)
Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)
Ta có
Q = 2002 1 a + 4 a + 2017 1 b + b − 5012 a − 7518 b = 2002 1 a + 4 a + 2017 1 b + b − 2506 2 a + 3 b
+ Vì a, b dương và 2 a + 3 b ≤ 4 ⇒ 0 < 2 a + 3 b ≤ 4 do đó
Q ≥ 2002.2. 1 a .4 a + 2017.2. 1 b . b − 2506.4 = 2018 với mọi a, b>0 và 2 a + 3 b ≤ 4 , dấu bằng xảy ra khi a = 1 2 và b= 1.
+ Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2018 khi a = 1 2 và b= 1..