Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
easy!
Ta có:
\(\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2=\frac{1}{x^2\left(2xy-x^2\right)}+x^2+\left(y^2+x^2-x^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm,ta được:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2\ge\frac{1}{x^2\left(2xy-x^2\right)}+x^2+\left(2xy-x^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM một lần nữa,ta được:
\(\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2\left(2xy-x^2\right)}\cdot x^2\cdot\left(2xy-x^2\right)}=3\left(đpcm\right)\)
xong!
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\)
\(\frac{2}{y}+2y=2\left(\frac{1}{y}+y\right)\ge2.2\sqrt{\frac{1}{y}.y}=4\)
Cộng vế với vế ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+x+2y\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
:))
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
\(T=21\left(x+\frac{1}{y}\right)+3\left(y+\frac{1}{x}\right)\)
\(=3\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{9}\right)+21\left(\frac{1}{y}+\frac{y}{9}\right)+\frac{62x}{9}+\frac{2y}{3}\)
\(\ge6\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{9}}+42\sqrt{\frac{1}{y}\cdot\frac{y}{9}}+\frac{62\cdot3}{9}+\frac{2\cdot3}{9}\)
\(=\frac{112}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=3;y=3
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
Áp dụng Cosi Rồi áp dụng tiếp AM-GM là ra nhé :) Ko bt có đúng ko nx
Mình làm 1 phần nhé ko phải dùng Cosi
Phân tích: \(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)\(=\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)+\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)+\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)\)\(\ge2\sqrt{\left(\frac{x}{2}.\frac{1}{2}\right)}+2\sqrt{\left(\frac{y}{2}.\frac{2}{y}\right)}+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi:
Ta có: \(\frac{x}{2}=\frac{1}{2x}\Rightarrow\left(2x.x\right)=\left(2.1\right)\Rightarrow2x^2.2\Rightarrow x=1\)( Thỏa mãn ) ( vì x là một số thực dương )
Ta có: \(\frac{y}{2}=\frac{2}{y}\Rightarrow\left(y.y\right)=\left(2.2\right)\Rightarrow y^2=4\Rightarrow y=2\)( thỏa mãn ) ( vì y là một số thực dương )
Mà: \(x+y=1+2=3\)( thỏa mãn đề bài \(x+y\ge3\))
Vậy đẳng thức \(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{2}\)khi x = 1 và y = 2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{2y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{2y}\cdot\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{y}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(1+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Cách khác:
Với x,y >0.Áp dụng bđt svac -xơ có:
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\)
=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}.\frac{y+3z}{16}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}}=x\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại :
\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{z+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)
Công theo vế 3 BĐT trên ta được :
\(VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}.3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Cách 2:
\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)^2}{3}}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}{12}\)
\(\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{12}\ge\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng bđt quen thuộc \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a;b;c>0\right)\) được
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" tại x = y = 1
Đặt \(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)
\(\Rightarrow\) \(3A=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+2y\right)\) (do \(x+2y=3\) )
nên \(3A=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) đối với bộ số không âm gồm \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\right)\) , ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Do đó, \(3A\ge2.2+5=9\)
Hay nói cách khác, \(A\ge3\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)
Vậy, \(A_{min}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
dùng cô si ( AM - GM ) thêm bớt nhanh hơn .
dự đoán điểm rơi x = y = 1
Gải : \(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\left(1\right).\)
\(\frac{2}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{2}{y}.2y}=4\left(2\right).\)
cống vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\) ( do x + 2y = 3 )
=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)dấu "=" xẩy ra khi x = y = 1