LH
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NH
1
3 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le9\Rightarrow a+b+c\le3\left(1\right)\)
Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\left(2\right)\)
Cộng vế với vế của\(\left(1\right),\left(2\right)\)ta được:
\(a+b+c+ab+bc+ca\le3+3=6\left(đpcm\right)\)
LQ
0
4 tháng 2 2017
Trước tiên chứng minh:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
(nhân vô rút gọn chuyển hết sang trái được)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+c^2b\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)+\left(b^2a-2abc+c^2a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a\sqrt{b}-c\sqrt{b}\right)^2+\left(a\sqrt{c}-b\sqrt{c}\right)^2+\left(b\sqrt{a}-c\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đây ta có:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{4\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)}\)
\(\le\frac{9}{4.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(ab+bc+ca\le\frac{3}{4}\)
TN
1
12 tháng 4 2017
Ta có BĐT \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
Từ BĐT vừa chứng minh trên ta suy ra
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=3^2=9\left(a+b=6\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\sqrt{ab}\\a+b=6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=3\)
có a+b=6 suy ra (a+ b)2= 36 mà (a+ b)2 lớn hơn hoặc bằng 4ab nên 36 lớn hơn hoặc bằng 4ab
suy ra ab nhỏ hơn hơn hoặc bằng 9
k mình nha
ta có a+b=\(\left(\sqrt{a}\right)^2\)\(+\left(\sqrt{b}\right)^2\)Mặt khác ta có \(\left(\sqrt{a}\right)^2-2\left(\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}\right)\)\(+\left(\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\ge2\left(\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}\right)\)=\(2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)\(\Rightarrow36\ge4ab\Rightarrow ab\le9\)