Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có : \(x+y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\left(2x+\frac{2}{x}\right)+\left(2y+\frac{2}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : \(2x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{2x.\frac{2}{x}}=4\) (1)
Tương tự : \(2y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{2y.\frac{2}{y}}=4\)(2) ; \(x+y\le2\Rightarrow-\left(x+y\right)\ge-2\)(3)
Cộng (1) , (2) , (3) theo vế được: \(\left(2x+\frac{2}{x}\right)+\left(2y+\frac{2}{y}\right)-\left(x+y\right)\ge4+4-2=6\)
Hay \(x+y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\ge6\) (đpcm)
b) Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) được :
\(a^8+b^8+c^8=\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2+\left(c^4\right)^2\ge\left(ab\right)^4+\left(bc\right)^4+\left(ca\right)^4\)
Tương tự : \(\left(a^2b^2\right)^2+\left(b^2c^2\right)^2+\left(c^2a^2\right)^2\ge a^2b^4c^2+b^2c^4a^2+c^2a^4b^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^3b^3c^3}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+zx\Rightarrow x+y+z\ge3\)
\(P=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(y+2\right)\left(y^2-2y+4\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}+\sqrt{\left(y+2\right)\left(y^2-2y+4\right)}+\sqrt{\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+2+x^2-2x+4\right)+\left(y+2+y^2-2y+4\right)+\left(z+2+z^2-2z+4\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)+18}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+18}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}\)
Dự đoán Min P=1 khi x+y+z=3
Đặt \(t=x+y+z\ge3\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2t^2}{t^2-t+12}\Rightarrow P-1\ge\frac{t^2+t-12}{t^2-t+12}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+4\right)}{t^2-t+12}\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
áp dụng AM-GM :
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{x^2y^2}}=2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{yx}}=2\)
do đó \(A\ge3.2-2.8=-10\)thì \(A_{MIN}=-10\)DẤU = sảy ra khi x= y
Câu hỏi của Nguyen - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Cùng một người hỏi luôn :(
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\)
Ta có: A = \(3\left(a^2-2\right)-8a=3a^2-8a-6=3\left(a-\frac{4}{3}\right)^2-\frac{34}{3}\)
Mặt khác: a2 \(=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\ge4\)
Nên \(a\ge2\) hoặc \(a\le-2\)
+) Nếu \(a\ge2\) thì \(a-\frac{4}{3}\ge\frac{2}{3}>0\). \(A\ge3.\left(\frac{2}{3}\right)^2-\frac{34}{3}=-10\)
+) Nếu \(a\le-2\) thì \(a-\frac{4}{3}\le\frac{-10}{3}< 0\). \(A\ge3.\left(\frac{-10}{3}\right)^2-\frac{34}{3}=22\)
SS 2 TH, ta được Min A = -10 khi và chỉ khi a = 2 tức x = y > 0.