Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Rightarrow\frac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}=\frac{b\left(cx-az\right)}{b^2}=\frac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}\)
\(\text{Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:}\)
\(\frac{abx-acy}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{abx-acy+bcx-abz+acy-bcx}{a^2+b^2+c^2}=0\)
\(\Rightarrow bz-cy=0\)\(\text{và}\)\(cx-az=0\)
\(bz-cy=0\Rightarrow bz=cy\Rightarrow\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
\(cx-az=0\Rightarrow cx=az\Rightarrow\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\)
\(\text{Vậy}\)\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
\(\frac{cy-bz}{x}=\frac{az-cx}{y}=\frac{bx-ay}{z}\)
=> \(\frac{cyx-bzx}{x^2}=\frac{azy-cxy}{y^2}=\frac{bxz-ayz}{z^2}=\frac{cyx-bzx+azy-cxy+bzx-ayz}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\frac{0}{x^2+y^2+z^2}=0\)
Khi đó \(\hept{\begin{cases}cyx-bzx=0\\azy-cxy=0\\bxz-ayz=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}cy=bz\\az=cx\\bx=ay\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\\\frac{z}{x}=\frac{b}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
\(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{x\left(bz-cy\right)}{ax}=\frac{y\left(cx-az\right)}{by}=\frac{z\left(ay-bx\right)}{cz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{bxz-cxy}{ax}=\frac{cxy-ayz}{by}=\frac{ayz-bxz}{cz}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{bxz-cxy}{ax}=\frac{cxy-ayz}{by}=\frac{ayz-bxz}{cz}=\frac{bxz-cxy+cxy-ayz+ayz-bxz}{ax+by+cz}=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bz-cy=0\\cx-az=0\\ay-bx=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}bz=cy\\cx=az\\ay=bx\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\\\frac{a}{c}=\frac{b}{y}\end{cases}}\)
=> Điều cần chứng minh
\(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\) \(=\frac{x\left(bz-cy\right)}{ax}=\frac{y\left(cx-az\right)}{by}=\frac{z\left(ay-bx\right)}{cz}\)
\(=\frac{bzx-cyx}{ax}=\frac{cxy-azy}{by}=\frac{ayz-bxz}{cz}=\frac{bzx-cyx+cxy-azy+ayz-bxz}{ax+by+cz}=0\)
\(\Rightarrow bz-cy=0\Rightarrow bz=cy\Rightarrow\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\) (1)
\(\Rightarrow cx-az=0\Rightarrow cx=az\Rightarrow\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\) (2)
\(\Rightarrow ay-bx=0\Rightarrow ay=bx\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\) (3)
Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Ta có: \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\left(1\right).\)
Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b và b;c
Từ (1) Ta lại có: \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-baz}{b^2}=\frac{cay-cbx}{c^2}\)
\(=\frac{abz+acy+bcx+baz+cay+cbx}{a^2+b^2+c^2}=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bx-cy=0\Rightarrow bz=cy\Rightarrow\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\\ay-bx=0\Rightarrow ay=bx\Rightarrow\frac{y}{b}=\frac{x}{a}\end{cases}}\)
Vậy \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\left(đpcm\right)\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT
Ta có:
bz−cya=cx−azb=ay−bxc=bxz−cxyax=cxy−ayzby=ayz−bxzcz=0ax+by+cz=0bz−cya=cx−azb=ay−bxc=bxz−cxyax=cxy−ayzby=ayz−bxzcz=0ax+by+cz=0
Suy ra
bz=cy⇒zc=ybbz=cy⇒zc=yb (1)
cx=az⇒xa=zccx=az⇒xa=zc (2)
ay=bx⇒yb=xaay=bx⇒yb=xa (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra xa=yb=zcxa=yb=zc hay x : y : z = a : b : c.hay \(\frac{x}{a}\)=\(\frac{y}{b}\)=\(\frac{z}{c}\)
Ta có: \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}=\frac{b\left(cx-az\right)}{b^2}=\frac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\) (Nhân lần lượt mỗi vé với a,b,c)
\(\Leftrightarrow\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-baz}{b^2}=\frac{cay-cbx}{c^2}\)
\(=\frac{abz-acy+bcx-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}=0\) (Áp dung dãy tỉ số bằng nhau)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bz-cy=0\\cx-az=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\end{cases}\Rightarrow}}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\) (đpcm)
k cho mình!