Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có :
\(-4\sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{3}}}=-4\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}=-\frac{4\sqrt{1+\sqrt{3}}}{\left(2+\sqrt{3}\right)}=-\frac{2\sqrt{4+4\sqrt{3}}}{\left(2+\sqrt{3}\right)}\)
\(=-\frac{2\sqrt{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}}{\left(2+\sqrt{3}\right)}=-\frac{2\left(1+\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)}=-\frac{2\left(1+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\left(2-\sqrt{3}\right)\right)}=-2\left(\sqrt{3}-1\right)\)
\(=2-2\sqrt{3}\)
\(-4\sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{3}}}\)
\(-4\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}}\)
\(=-4\sqrt{\frac{2\sqrt{3}-2-3+\sqrt{3}}{4-3}}\)
\(=-\left(4\sqrt{3\sqrt{3}-5}\right)\)
\(=-\sqrt{48\sqrt{3}-80}\)
điều kiện x, y >=0, x # y .
\(\frac{\sqrt{x^2y}+\sqrt{xy^2}}{x-y}=\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right).\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}..\)
ap dung bdt am gm
\(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(4a^2-4a+1\right)}\)\(\le\frac{1+2a+4a^2-2a+1}{2}=\frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{2a^2+1}\)
tuongtu ta cung co \(\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{2b^2+1};\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{2c^2+1}\)
\(\Rightarrow\)VT\(\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\)
tiep tuc ap dung bat cauchy-schwarz dang engel ta co
\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{3^2}{6+3}=1\)(dpcm)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)
Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó
Is it true?
\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
n là số nguyên dương
Bình phương hai vế, ta được:
\(\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)^2=n+2+n+1-2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\) \(=2n+3-2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\)
\(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2=n+1+n-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\) \(=2n+1-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
Ta có: \(\left(n+2\right)\left(n+1\right)>n\left(n+1\right)\Rightarrow2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
Mà 2n + 3 > 2n + 1
\(\Rightarrow2n+3-2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>2n+1-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)
=> ( √n+2 - √n+1)^2 > ( √n-1 - √n)^2
=> √n+2 - √n+1 > √n-1 - √n
P/s: Em làm còn sai nhiều, mong mọi người góp ý, đừng chọn sai cho em. Em cảm ơn
\(\frac{x-y\sqrt{2017}}{y-z\sqrt{2017}}\)
đề thế này còn tạm chấp nhận :v
Từ \(x+y+z=2017\Rightarrow\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z=\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z+''x+y+z''}=0\Rightarrow''x+y''''\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}=0\)
\(\Rightarrow\frac{''x+y''''y+z''''z+x''}{xyz''x+y+z''}=0\Rightarrow''x+y''''y+z''''z+x''=0\) Do x,y,z khác 0
Mà \(x+y+z=2017\)
\(\Rightarrow x+y=0\Rightarrow x=2017\)
hoặc \(y+z=0\Rightarrow x=2017\)
hoặc \(x+z=0\Rightarrow x=2017\)
Ta có \(a^4+ab^3=2a^3b^2\)
Do a>0
=> \(a^3+b^3=2a^2b^2\)
<=> \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}=2\)
Đặt \(\frac{a}{b^2}=x;\frac{b}{a^2}=y\)(x,y là số hữu tỉ)
=>\(\hept{\begin{cases}x+y=2\\x.y=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=2-y\\xy=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)
=> \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}=\sqrt{1-y\left(2-y\right)}=\sqrt{y^2-2y+1}=|y-1|\)là số hữu tỉ
=> ĐPCM
Vậy \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\)là số hữu tỉ
Gọi \(\overrightarrow{1a}=\left(x;\frac{1}{x}\right);\overrightarrow{b}=\left(y;\frac{1}{y}\right);\overrightarrow{c}=\left(z;\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|+\left|\overrightarrow{c}\right|\)
\(\ge\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{1^2+\frac{9^2}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\)
Áp dụng BDT MInkopki
VT\(\ge\)\(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}=\sqrt{82}\)
BDT minkopki
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\ge\sqrt{\left(a+c+e\right)^2+\left(b+d+f\right)^2}\)
âm
âm nha bạn
Tại vì 2<3căn 3(căn 4<căn 27)