Question

[Thầy Cao Đô]

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$, dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $F$. Gọi $M$ là một điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ($M$ khác $B$, $M$ khác $C$), hai đường thẳng $AM$ và $CD$ cắt nhau tại $E$

a) Chứng minh tứ giác $BMEF$ nội tiếp.

b) Chứng minh tia $MA$ là phân giác của góc $CMD$.

c) Chứng minh $AC^2=AE.AM$.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>MA\(\perp\)MB tại M

Xét tứ giác BMEF có \(\widehat{BME}+\widehat{BFE}=90^0+90^0=180^0\)

nên BMEF là tứ giác nội tiếp

b: ΔOCD cân tại O

mà OF là đường cao

nên F là trung điểm của CD

Xét ΔACD có

AF là đường cao

AF là đường trung tuyến

Do đó: ΔACD cân tại A

=>\(\widehat{ACD}=\widehat{ADC}\)(1)

Xét (O) có 

\(\widehat{AMC};\widehat{ADC}\) lần lượt là các góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{AMC}=\widehat{ADC}\left(2\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{AMD};\widehat{ACD}\) là các góc nội tiếp chắn cung AD

=>\(\widehat{AMD}=\widehat{ACD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{AMD}=\widehat{AMC}\)

=>MA là phân giác của góc CMD

c: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔACB vuông tại C có CF là đường cao

nên \(AF\cdot AB=AC^2\left(4\right)\)

Xét ΔAFE vuông tại F và ΔAMB vuông tại M có

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAFE~ΔAMB

=>\(\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(AF\cdot AB=AE\cdot AM\left(5\right)\)

Từ (4),(5) suy ra \(AC^2=AE\cdot AM\)