Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Chứng minh \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
\(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}=90^0\)
\(\Rightarrow\text{BFEC nội tiếp}\)
\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
b) Chứng minh \(AB\times CN=AN\times BD\)
\(ON\perp BC\)
\(\Rightarrow\text{N là điểm chính giữa của cung nhỏ BC}\)
\(\Rightarrow\stackrel\frown{BN}=\stackrel\frown{NC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{NAC}\)
\(\text{mà }\widehat{B_1}=\widehat{N_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{AC}\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BAD\sim\Delta NAC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{BD}{CN}\)
\(\Rightarrow AB\times CN=AN\times BD\)
c) Chứng minh \(BC\times AK=AB\times CK+AC\times BK\)
\(\odot\) \(\Delta ABC\text{ có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H}\)
\(\Rightarrow\text{H là trực tâm của }\Delta ABC\)
\(\Rightarrow AK\perp BC\)
\(\odot\) Suy ra \(\dfrac{1}{2}\times BC\times AK=S_{ABKC}\) (1)
\(\odot\) \(\text{Gọi T là giao điểm của AK và BC}\)
\(\widehat{AFC}=\widehat{CTA}=90^0\)
\(\Rightarrow\text{AFTC nội tiếp}\)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\)
\(\text{mà }\widehat{A_1}=\widehat{C_2}\)
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)
\(\Rightarrow\Delta CHK\text{ có CT vừa là đường cao vừa là đường phân giác}\)
\(\Rightarrow\text{CB là đường trung trực của HK}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CK=CH\\BK=BH\end{matrix}\right.\)
\(\odot\) \(\dfrac{1}{2}\times AB\times CK=\dfrac{1}{2}\times AF\times CH+\dfrac{1}{2}\times FB\times CH=S_{AHC}+S_{BHC}=S_{AHC}+S_{BKC}\)
\(\odot\) \(\dfrac{1}{2}\times AC\times BK=\dfrac{1}{2}\times AE\times BH+\dfrac{1}{2}\times EC\times BH=S_{AHB}+S_{BHC}\)
\(\odot\) Suy ra \(\dfrac{1}{2}\times AB\times CK+\dfrac{1}{2}\times AC\times BK=S_{AHC}+S_{BKC}+S_{AHB}+S_{BHC}=S_{ABKC}\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ đpcm
a) Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BFC}\) và \(\widehat{BEC}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC
Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Ta có: BCEF là tứ giác nội tiếp(cmt)
nên \(\widehat{EBC}=\widehat{EFC}\)(hai góc cùng nhìn cạnh EC)
hay \(\widehat{MBC}=\widehat{HFE}\)(1)
Xét (O) có
\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
\(\widehat{MNC}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MNC}\)(Hệ quả góc nội tiếp)
hay \(\widehat{MBC}=\widehat{HNM}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{HFE}=\widehat{HNM}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên FE//MN(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
a, Ta co 2 bo de quen thuoc sau : FC la phan giac ^EFD, FB la phan giac PFD
ma QR//EP nen
\(\widehat{PFB}=\widehat{FQD}=\widehat{QFD}\Rightarrow\Delta DFQ\) can tai D => DF=DQ (1)
mat khac theo tinh chat tia phan giac ngoai ^PFD co \(\frac{FD}{FP}=\frac{CD}{CP}\)
ma \(\frac{CD}{CP}=\frac{DT}{PF}\) (DT//PF)
suy ra \(\frac{DF}{PF}=\frac{DT}{PF}\Rightarrow DT=DF\) (2)
Tu(1)va (2) suy ra DT=DQ hay D la trung diem QT
b, Goi S la trung diem BC ta chung minh PQSR noi tiep
Co \(\Delta PSE~\Delta ESD\left(G-G\right)\Rightarrow\frac{PS}{ES}=\frac{ES}{SD}\Leftrightarrow ES^2=PS.DS\)
lai co ES=SB=SC do S la trung diem canh huyen BC cua tam giac vuong BEC
suy ra \(BS^2=PS.SD=DS\left(PD+DS\right)=SD^2+PD.DS\)
=> \(PD.DS=BS^2-SD^2=\left(BS-DS\right)\left(BS+DS\right)=BD.DC\) (3)
Mat khac ^DQB=^PFB(cmt)
^PFB=^RCD( BFEC nt)
suy ra ^DQB=^RCD=> BQCR noi tiep
=> \(BD.DC=DQ.DR\) (4)
Tu (3),(4) suy ra DP.DS=DQ.DR => PQDR noi tiep
=> (PQR) di qua S la trung diem BC co dinh
c,lay H' doi xung voi H qua BC, ta co H' thuoc (O) .
ta lai co bo de sau : \(BD.DC=DH.DA\) (quen thuoc)
suy ra \(DP.DS=DH.DA\left(=DB.DC\right)\)
<=> \(\frac{DH}{DP}=\frac{DS}{DA}\)
ma ^HDP=^SDA=90
suy ra \(\Delta DHP~\Delta DSA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{DHP}=\widehat{DSA}\)
va \(\widehat{DSA}=\widehat{AHK}\left(phu\widehat{DAS}\right)\)
=>\(\widehat{DHP}=\widehat{AHK}\) => P,H,K thang hang
lai co \(\widehat{AFH}=\widehat{AKH}=\widehat{AEH}=90\)
=> A,F,H,K,E cung thuoc 1 duong tron =. FHKE noi tiep
=>\(PF.PE=PH.PK\) (5)
ma BFEC noi tiep => \(PF.PE=PB.PC\) (6)
(5)+(6)Suy ra \(PH.PK=PB.PC\) => BHKC noi tiep
Vi H' ,I doi xung voi H,K qua BC ma BHKC noi tiep => BH'IC noi tiep
do vay \(I\in\left(BH'C\right)=\left(ABH'C\right)=\left(O\right)\)
e,Goi tam (CJL) la U, (U) cat (O) tai V, BC giao OG tai X
=> \(\widehat{VBG}=\widehat{VJG}\left(=\widehat{VCB}\right)\) =>BJVG noi tiep
=> B,J,X,V,G cung thuoc 1 duong tron => ^BVG=^BXG=90
lai co ^XVG +^XBG=180 hay ^XVG+^BAC=180
va ^BVC+^BAC=180
suy ra ^XVG=^BVC
hay 90 +^XVB=^XVB+^XVC
=> ^XVC=90
=> V thuoc duong tron dk XC
mat khac V cung thuoc (O)
suy ra V co dinh ,C co dinh
suy ra tam U di chuyen tren trung truc VC co dinh (dpcm)
câu c nè: mik ns ý chính nhé
h bạn kẻ tiếp tuyến tại A
chứng minh đc AO vuông góc vs MN
=> OA vuông góc vs EF
do OA cố định
=> đường thẳng qua A vuông góc vs EF luôn đi qua 1 điểm cố định
do câu a va b bn làm đc rồi nên mik nghĩ bn cx hok giỏi rồi nên mik làm tắt nha
bạn ơi cho mình hỏi bài này ở đề năm bao nhiêu của thành phố nào vậy bạn?????
3. Xét tứ giác BFHD có:
HFB + HDB = 90º + 90º = 180º => BFHD là tứ giác nội tiếp. ⇒ FBH = FDH (1)
Tương tự có DHEC là tứ giác nội tiếp, ⇒HCE = HDE (2)
Mà BFEC là tứ giác nội tiếp nên FCE = FBE (3)
Từ (1) (2) (3)⇒ 2ABE = FDH + HDE = FDE
Vì BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính BC nên theo quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung EF, ta có: FIE = 2.FBE = 2.ABE
⇒FIE = FDE
4.Vì BFEC là tứ giác nội tiếp nên:
ABC = 180º – FEC = AEF => ΔAEF ~ ΔABC (g.g)
Suy ra độ dài EF không đổi khi A chạy trên cung lớn BC của đường tròn (O)
Gọi K là giao điểm thứ 2 của ED và đường tròn đường kính BC
Theo tính chất góc ngoài: FDE = DKE + DEK
Theo ý 3 và quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung, có FDE = FIE = 2.DKE
⇒DKE = DEK => ΔDEK cân tại D => DE = DK
Chu vi ΔDEF là P = DE + EF + FD = EF + FD + DK = EF + FK
Có FK ≤ BC ( dây cung – đường kính) => P ≤ EF + BC không đổi
Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi FK đi qua I ⇔ D trùng I ⇔ ΔABC cân tại A.
Vậy A là điểm chính giữa của cung lớn BC
B C A H E Q F P D
a/
Ta thấy F và E đều nhìn BC dưới cùng 1 góc 90 độ nên E,F nằm trên đường tròn đường kính BC ta gọi là đường tròn (O')
=> B,F,E,C cùng nawmg trên một đường tròn
b/
Xét đường tròn (O) ta có
sđ \(\widehat{BQP}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BP (góc nội tiếp đường tròn) (1)
Xét đường tròn (O') ta có
sđ \(\widehat{BEF}=\) sđ \(\widehat{BCP}=\frac{1}{2}\) sđ cung BF (góc nội tiếp đường tròn) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{BQP}=\widehat{BEF}\) => PQ//EF (Hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc ở vị trí đồng vị thì chúng // với nhau
c/ ta thấy F và D cùng nhìn BH dưới cùng 1 góc 90 độ nên BDHF là tứ giác nội tiếp
sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{FDA}=\frac{1}{2}\) sđ cung FH (1)
Ta thấy D và E cùng nhìn AB đướ cùng 1 góc 90 độ nên ABDE là tứ giác nội tiếp
sđ \(\widehat{ABE}=\)sđ \(\widehat{ADE}=\frac{1}{2}\) sđ cung AE (2)
Mà \(\widehat{FDA}+\widehat{ADE}=\widehat{FDE}\) (3)
Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{FDE}=2.\widehat{ABE}\left(dpcm\right)\)
a: góc BEC=góc BFC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
=>góc BFE+góc BCE=180 độ
=>góc AFE=góc ACB
b: Xét ΔABD và ΔANC có
góc ABD=góc ANC
góc BAD=góc NAC
=>ΔABD đồng dạng với ΔANC
=>AB/AN=BD/NC
=>AB*NC=AN*BD