Question

[Thầy Cao Đô]

Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến $AB, \, AC$ với đường tròn $(O)$ ($B, \, C$ là các tiếp điểm). Gọi $M$ là trung điểm $AB$.

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp và xác định tâm $I$ của đường tròn này.

b) Chứng minh rằng $AM.AO=AB.AI$.

c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ACM$. Chứng minh $MG$ // $BC$.

d) Chứng minh $IG$ vuông góc với $CM$.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AO

Tâm I là trung điểm của AO

b: Xét ΔABO có I,M lần lượt là trung điểm của AO,AB

=>MI là đường trung bình của ΔABO

=>MI//BO

Xét ΔAMI và ΔABO có \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AI}{AO}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\) và góc MAI chung

nên ΔAMI~ΔABO

=>\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AI}{AO}\)

=>\(AM\cdot AO=AB\cdot AI\)

c: Gọi H là trung điểm của AM

Xét ΔCMA có

G là trọng tâm

H là trung điểm của AM

Do đó: C,G,H thẳng hàng và \(CG=\dfrac{2}{3}CH\)

Ta có: CG+GH=CH

=>\(GH=HC-\dfrac{2}{3}HC=\dfrac{1}{3}HC\)

Ta có: H là trung điểm của AM

=>\(HA=HM=\dfrac{AM}{2}=\dfrac{BM}{2}\)

Ta có: HM+MB=HB

=>\(HB=\dfrac{1}{2}MB+MB=\dfrac{3}{2}MB\)

=>\(\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}MA}{\dfrac{3}{2}MA}=\dfrac{1}{3}\)

Xét ΔHCB có \(\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{HG}{HC}\left(=\dfrac{1}{3}\right)\)

nên MG//BC