Câu hỏi của Vương Vũ Nhi

Question

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm).

1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

2. Gọi E là giao điểm củ...

Kim So Hyun · Accepted Answer

A B C O K P Q E M N

a) Vì AB là tiếp tuyến (O)

=> AB⊥OB

=> $\widehat{ABO}$$=90^0$

Vì AC là tiếp tuyến (O)

=> AC⊥OC

=>$\widehat{ACO}$ $=90^0$

Ta có: $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}$ $=90^0+90^0=180^0$

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\BO=CO\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ AO là đường trung trực ứng BC

$\Rightarrow$ AO⊥BC ( mà E∈BC)

$\Rightarrow$ BE⊥AO (đpcm)

Xét ΔABO có: $\widehat{ABO}$ $=90^0$ (cmtrn)

BE⊥AO (cmtrn)

$\Rightarrow$ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

$\Rightarrow$ $AO\cdot OE=OB^2$ (mà OB=R)

$\Rightarrow OA\cdot OE=R^2$ (đpcm)

c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P

$\Rightarrow PB=PK$

Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q

$\Rightarrow KQ=QC$

Ta có: $P_{APQ}=AP+PQ+AQ$ $=AP+PK+KQ+AQ$

$\Leftrightarrow P_{APQ}=\left(AP+PB\right)+\left(QC+AQ\right)$

$\Leftrightarrow P_{APQ}=AB+AC$

Vì $AB+AC$ không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

$\Rightarrow$ Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).

d) Tự CM: $\Delta MOP\sim\Delta NQO$

$\Rightarrow\frac{MP}{NO}=\frac{MO}{NQ}$ $\Leftrightarrow MP\cdot NQ=MO\cdot NO=\frac{MN}{2}\cdot\frac{MN}{2}$

$\Leftrightarrow MP\cdot NQ=\frac{MN^2}{4}$

$\Leftrightarrow MN^2=4\cdot\left(MP\cdot NQ\right)$

$\Leftrightarrow MN=2\cdot\sqrt{MN\cdot NQ}$

Áp dụng bđt Côshi ta có:

$2\cdot\sqrt{MP\cdot NQ}\le MP+NQ$

$\Leftrightarrow MN\le MP+NQ$ (đpcm).

Câu trả lời:

A B C O K P Q E M N

a) Vì AB là tiếp tuyến (O)

=> AB⊥OB

=> $\widehat{ABO}$$=90^0$

Vì AC là tiếp tuyến (O)

=> AC⊥OC

=>$\widehat{ACO}$ $=90^0$

Ta có: $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}$ $=90^0+90^0=180^0$

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\BO=CO\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ AO là đường trung trực ứng BC

$\Rightarrow$ AO⊥BC ( mà E∈BC)

$\Rightarrow$ BE⊥AO (đpcm)

Xét ΔABO có: $\widehat{ABO}$ $=90^0$ (cmtrn)

BE⊥AO (cmtrn)

$\Rightarrow$ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

$\Rightarrow$ $AO\cdot OE=OB^2$ (mà OB=R)

$\Rightarrow OA\cdot OE=R^2$ (đpcm)

c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P

$\Rightarrow PB=PK$

Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q

$\Rightarrow KQ=QC$

Ta có: $P_{APQ}=AP+PQ+AQ$ $=AP+PK+KQ+AQ$

$\Leftrightarrow P_{APQ}=\left(AP+PB\right)+\left(QC+AQ\right)$

$\Leftrightarrow P_{APQ}=AB+AC$

Vì $AB+AC$ không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

$\Rightarrow$ Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).

d) Tự CM: $\Delta MOP\sim\Delta NQO$

$\Rightarrow\frac{MP}{NO}=\frac{MO}{NQ}$ $\Leftrightarrow MP\cdot NQ=MO\cdot NO=\frac{MN}{2}\cdot\frac{MN}{2}$

$\Leftrightarrow MP\cdot NQ=\frac{MN^2}{4}$

$\Leftrightarrow MN^2=4\cdot\left(MP\cdot NQ\right)$

$\Leftrightarrow MN=2\cdot\sqrt{MN\cdot NQ}$

Áp dụng bđt Côshi ta có:

$2\cdot\sqrt{MP\cdot NQ}\le MP+NQ$

$\Leftrightarrow MN\le MP+NQ$ (đpcm).

Kim So Hyun · Answer

c) Xét ΔMAN có : $\left\{{}\begin{matrix}AO\perp MN\MO=NO=R\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ Tam giác MAN cân tại A

$\Rightarrow$ $\widehat{M}=\widehat{N}$

$\Rightarrow$ $\widehat{MAN}+2\widehat{M}$$=180^0$ (!)

Vì tiếp tuyến OB cắt tiếp tuyến OK tại P

$\Rightarrow$ OP là phân giác $\widehat{BOK}$

$\Rightarrow$ $\widehat{BOP}=\widehat{POK}$

Vì tiếp tuyến OK cắt tiếp tuyến OC tại Q

$\Rightarrow$ $\widehat{KOC}=\widehat{QOC}$

Ta có: $\widehat{BOP}+\widehat{POK}+\widehat{KOQ}+\widehat{QOC}=\widehat{BOC}$

$\Leftrightarrow$$2\widehat{POK}+2\widehat{KOQ}=\widehat{BOC}$

$\Leftrightarrow$ $2\widehat{POQ}=\widehat{BOC}$

Vì tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (cmtrn)

$\Rightarrow$ $\widehat{BAC}+\widehat{BOC}=$ $180^0$

$\Leftrightarrow$ $\widehat{MAN}+2\widehat{POC}$ $=180^0$ (!!)

Từ (!)(!!) $\Rightarrow$ $\widehat{M}=\widehat{POC}$

Vì $\widehat{PON}$ là góc ngoài của ΔQOM

$\Rightarrow$ $\widehat{MPO}+\widehat{M}=\widehat{QON}$

$\Leftrightarrow$ $\widehat{MPO}+\widehat{M}=\widehat{NOQ}+\widehat{POQ}$ (mà $\widehat{M}=\widehat{POQ}$)

$\Rightarrow$ $\widehat{MPO}=\widehat{QON}$

Xét ΔMOP∼ΔNQO vì :

$\widehat{M}=\widehat{N}$ (cmtrn)

$\widehat{MPO}=\widehat{QON}$ (cmtrn)