Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.Ta có BCBC là đường kính của (O)→AB⊥AC(O)→AB⊥AC
Mà HM⊥BCHM⊥BC
→ˆHAC=ˆHMC=90o→HAC^=HMC^=90o
→HACM→HACM nội tiếp đường tròn đường kính CHCH
b.Ta có AHMCAHMC nội tiếp
→ˆHAM=ˆHCM=ˆDCB=ˆDAB→HAM^=HCM^=DCB^=DAB^
→AB→AB là phân giác ˆDAMDAM^
c.Vì BCBC là đường kính của (O)→CD⊥BD→CD⊥BI(O)→CD⊥BD→CD⊥BI
Xét ΔIBCΔIBC có IM⊥BC,CD⊥BIIM⊥BC,CD⊥BI
Mà IM∩CD=H→HIM∩CD=H→H là trực tâm ΔIBC→BH⊥IC→BA⊥ICΔIBC→BH⊥IC→BA⊥IC
Mà AB⊥AC→I,A,CAB⊥AC→I,A,C thẳng hàng
Xét ΔBDH,ΔBAIΔBDH,ΔBAI có:
Chung ^BB^
ˆBDH=ˆBAI=90oBDH^=BAI^=90o
→ΔBDH∼ΔBAI(g.g)→ΔBDH∼ΔBAI(g.g)
→BDBA=BHBI→BDBA=BHBI
→BD.BI=BH.BA
a. Ta có : \(\hat{BDM}=90^o\) (kề bù với \(\hat{BDA}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\(\hat{BCM}=90^o\left(gt\right)\)
Vậy : BCMD nội tiếp được một đường tròn (\(\hat{BDM}+\hat{BCM}=180^o\)) (đpcm).
b. Xét △ADB và △ACM :
\(\hat{ADB}=\hat{ACM}=90^o\)
\(\hat{A}\) chung
\(\Rightarrow\Delta ADB\sim\Delta ACM\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\Leftrightarrow AD.AM=AB.AC\) (đpcm).
c. Ta có : \(OD=OB=BD=R\) ⇒ △ODB đều.
\(\Rightarrow S_{\Delta ODB}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2\)
\(\hat{BOD}\) là góc ở tâm chắn cung BD \(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{BC}=\hat{BOD}=60^o\) (do △ODB đều).
\(S_{ODB}=\dfrac{\text{π}R^2n}{360}=\dfrac{\text{π}R^2.60}{360}=\dfrac{\text{π}R^2}{6}\)
\(\Rightarrow S_{vp}=S_{ODB}-S_{\Delta ODB}=\dfrac{\text{π}R^2}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2\)
\(=\dfrac{\text{π}}{6}R^2-\dfrac{\sqrt{3}}{4}R^2\)
\(=\dfrac{2\text{π}-3\sqrt{3}}{12}R^2\)
a) \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\). Vậy tam giác ABC vuông tại C.
Xét tam giác vuông PAB có đường cao AC, áo dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(PA^2=PC.PB\)
b) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PA = PM
Lại có OA = OM nên PO là trung trực của AM.
c) Ta có \(\widehat{CBA}=30^o\Rightarrow\widehat{CAB}=60^o\) hay tam giác CAO đều. Suy ra AC = R
Xét tam giác vuông PAB có đường cao AC, áo dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow\frac{1}{R^2}=\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{4R^2}\)
\(\Rightarrow AP=\frac{2R}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow PO=\sqrt{PA^2+AO^2}=\frac{\sqrt{21}R}{3}\)
Xét tam giác vuông PAO, đường cao AN, áo dụng hệ thức lượng ta có:
\(\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{PA^2}+\frac{1}{AO^2}\Rightarrow AN=\frac{2\sqrt{7}R}{7}\)
\(\Rightarrow AM=2AN=\frac{4\sqrt{7}}{7}R\)
d) Kéo dài MB cắt AP tại E.
Ta thấy ngay tam giác EMA vuông có PM = PA nên PA = PE
Do MH // AE nên áo dụng định lý Ta let ta có:
\(\frac{HI}{AP}=\frac{IB}{PB}=\frac{MI}{EP}\)
Do AP = EP nên MI = HI
Ta cũng có N là trung điểm AM nên NI là đường trung bình tam giác AMH.
\(\Rightarrow NI=\frac{AH}{2}\)
Xét tam giác vuông AMB, đường cao MH, áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(AH.AB=AM^2\Rightarrow AH=\frac{8}{7}R\)
\(\Rightarrow NI=\frac{4}{7}R\)
A B O M N C K I E H
a) Vì MN vuông góc với AB nên cung AM = cung AN suy ra góc AKM = góc AMN nên tam giác AEM đồng dạng với tam giác AMK suy ra \(\frac{AM}{AK}=\frac{AE}{AM}\Rightarrow AE.AK=AM^2\)
...
Để giải bài toán này, ta cần hiểu cấu trúc hình học của bài toán. Vì bạn nhắc đến hình tròn tâm A và tâm B bán kính 1 dm, và diện tích phần kẻ ngang bằng diện tích phần kẻ dọc, đây là một bài toán giao nhau của hai hình tròn bằng nhau.
Diễn giải:
Theo đề bài:
Mà tổng diện tích của cả hai hình tròn là:
\(S_{\text{t}ổ\text{ng}} = 2 \cdot \pi R^{2} = 2 \pi\)
Gọi:
Theo đề:
\(S_{\text{chung}} = S_{\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{giao}} = 2 \pi - S_{\text{chung}} \Rightarrow 2 S_{\text{chung}} = 2 \pi \Rightarrow S_{\text{chung}} = \pi\)
Vậy diện tích phần giao nhau giữa hai hình tròn bằng \(\pi\). Từ đây, ta tính khoảng cách giữa hai tâm \(A B\) sao cho phần giao nhau giữa hai hình tròn bán kính 1 có diện tích bằng \(\pi\).
Diện tích phần giao nhau của hai hình tròn bằng nhau
Với hai hình tròn cùng bán kính \(R = 1\), khoảng cách giữa hai tâm là \(d = A B\), thì diện tích phần giao nhau được tính bằng công thức (cho hai hình tròn cùng bán kính \(R\)):
\(S = 2 R^{2} \left(cos \right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2 R} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 R^{2} - d^{2}}\)
Thay \(R = 1\), ta được:
\(S = 2 \left(cos \right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}}\)
Ta cần giải phương trình:
\(2 \left(cos \right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \pi\)
Giải xấp xỉ:
Dùng máy tính hoặc giải số gần đúng:
Thử một vài giá trị \(d \in \left[\right. 0 , 2 \left]\right.\):
Chúng ta cần \(S = \pi \approx 3.1416\)
Thử tiếp:
\(S \approx 2 \cdot 1.3181 - \frac{0.5}{2} \cdot 1.936 \approx 2.636 - 0.484 \approx 2.152\)
Vẫn nhỏ hơn \(\pi\)
Tăng lên:
Vậy khi hai hình tròn trùng tâm, tức \(A B = 0\), thì diện tích phần giao là toàn bộ hình tròn — cũng \(\pi\), không phải.
Tuy nhiên, theo đề, diện tích phần giao bằng phần không giao, tức bằng nửa tổng diện tích hai hình tròn: \(\pi\)
=> Vậy ta phải giải phương trình:
\(2 \left(cos \right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \pi\)
Dùng máy tính, bạn sẽ tìm được nghiệm gần đúng:
\(d \approx 1.17 \&\text{nbsp};(\text{dm})\)
Kết luận:
\(\boxed{A B \approx 1.17 \&\text{nbsp};\text{dm}}\)
Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ minh họa hoặc giải phương trình số chính xác hơn bằng code.
Ta sẽ giải bài toán hình học này từng bước một:
Cho:
Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ
Để dễ tính toán, ta đưa bài toán về mặt tọa độ.
Giả sử đường tròn có tâm \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) và bán kính \(r\)
Vì \(A B\) và \(A C\) là hai đường kính vuông góc, ta đặt:
Vì \(A B\) là đường kính, điểm D là điểm đối xứng với C qua tâm O, nên:
Bước 2: Tìm tọa độ điểm M sao cho \(A M = 2 M B\), M nằm trên đoạn \(B D\)
Điểm \(B \left(\right. - r , 0 \left.\right)\), điểm \(D \left(\right. 0 , - r \left.\right)\), ta tìm tham số hóa điểm M trên đoạn thẳng BD:
Gọi \(M = \left(\right. 1 - t \left.\right) B + t D = \left(\right. 1 - t \left.\right) \left(\right. - r , 0 \left.\right) + t \left(\right. 0 , - r \left.\right) = \left(\right. - r \left(\right. 1 - t \left.\right) , - r t \left.\right)\)
⇒ \(M = \left(\right. - r + r t , - r t \left.\right)\)
Bây giờ áp dụng điều kiện \(A M = 2 M B\)
Gọi \(A = \left(\right. r , 0 \left.\right)\), \(M = \left(\right. - r + r t , - r t \left.\right)\), \(B = \left(\right. - r , 0 \left.\right)\)
Tính độ dài:
Ta có \(A M = 2 M B \Rightarrow A M^{2} = 4 M B^{2}\)
Thế vào:
\(\left(\right. 2 r - r t \left.\right)^{2} + \left(\right. r t \left.\right)^{2} = 4 \cdot 2 \left(\right. r t \left.\right)^{2} = 8 \left(\right. r t \left.\right)^{2}\) \(\left(\right. 4 r^{2} - 4 r^{2} t + r^{2} t^{2} \left.\right) + r^{2} t^{2} = 8 r^{2} t^{2}\) \(4 r^{2} - 4 r^{2} t + 2 r^{2} t^{2} = 8 r^{2} t^{2}\)
Chia hai vế cho \(r^{2}\):
\(4 - 4 t + 2 t^{2} = 8 t^{2} \Rightarrow 4 - 4 t + 2 t^{2} - 8 t^{2} = 0 \Rightarrow - 6 t^{2} - 4 t + 4 = 0\)
Giải phương trình:
\(6 t^{2} + 4 t - 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 96}}{12} = \frac{- 4 \pm \sqrt{112}}{12} = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{7}}{12} = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}\)
Chọn nghiệm \(t = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3} \approx 0.5486 \in \left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) (nằm giữa đoạn BD)
Bước 3: Tìm tọa độ M
\(M = \left(\right. - r + r t , - r t \left.\right) = r \left(\right. t - 1 , - t \left.\right)\)
Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm H của \(C M\) và \(A B\)
Phương trình đường thẳng CM: đi qua C và M
Gọi vector chỉ phương:
\(\overset{⃗}{C M} = M - C = \left(\right. r \left(\right. t - 1 \left.\right) , - t r - r \left.\right) = \left(\right. r \left(\right. t - 1 \left.\right) , - r \left(\right. t + 1 \left.\right) \left.\right)\)
Ta có điểm \(C \left(\right. 0 , r \left.\right)\), nên phương trình tham số:
\(x = r \left(\right. t - 1 \left.\right) s , y = r - r \left(\right. t + 1 \left.\right) s , s \in \mathbb{R}\)
AB nằm trên trục hoành: \(y = 0\)
⇒ Giải phương trình \(r - r \left(\right. t + 1 \left.\right) s = 0 \Rightarrow s = \frac{1}{t + 1}\)
Thế vào x:
\(x = r \left(\right. t - 1 \left.\right) \cdot \frac{1}{t + 1} = \frac{r \left(\right. t - 1 \left.\right)}{t + 1}\)
Vậy điểm \(H = \left(\right. \frac{r \left(\right. t - 1 \left.\right)}{t + 1} , 0 \left.\right)\)
Bước 5: Tính BH
B có tọa độ \(\left(\right. - r , 0 \left.\right)\), H có hoành độ \(\frac{r \left(\right. t - 1 \left.\right)}{t + 1}\)
\(B H = \mid \frac{r \left(\right. t - 1 \left.\right)}{t + 1} + r \mid = r \mid \frac{\left(\right. t - 1 \left.\right) + \left(\right. t + 1 \left.\right)}{t + 1} \mid = r \mid \frac{2 t}{t + 1} \mid\)
Vậy:
\(\boxed{B H = r \cdot \frac{2 t}{t + 1}}\)
Thế \(t = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3} \Rightarrow t + 1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}\)
\(B H = r \cdot \frac{2 t}{t + 1} = r \cdot \frac{2 \cdot \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3}}{\frac{2 + \sqrt{7}}{3}} = r \cdot \frac{2 \left(\right. - 1 + \sqrt{7} \left.\right)}{2 + \sqrt{7}}\)
Rút gọn biểu thức:
\(B H = r \cdot \frac{2 \left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right)}{2 + \sqrt{7}} = r \cdot \frac{2 \left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right)}{\left(\right. 2 + \sqrt{7} \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right)} = r \cdot \frac{2 \left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right)}{4 - 7} = r \cdot \frac{2 \left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right)}{- 3}\)
Tính tử số:
\(\left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right) = 2 \sqrt{7} - \sqrt{7}^{2} - 2 + 1 = 2 \sqrt{7} - 7 - 1 = - 6 + 2 \sqrt{7}\)
Vậy:
\(B H = \frac{2 \left(\right. - 6 + 2 \sqrt{7} \left.\right) r}{- 3} = \frac{- 12 + 4 \sqrt{7}}{- 3} r = \left(\right. 4 - \frac{4 \sqrt{7}}{3} \left.\right) r\)
Kết luận:
\(\boxed{B H = \left(\right. 4 - \frac{4 \sqrt{7}}{3} \left.\right) r}\)
hoặc gần đúng:
\(\boxed{B H \approx 0.438 r}\)