Question

[Hàn Thiên Băng]

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA=R\sqrt{2}\). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.

a. Chứng minh ABOC là hình vuông.

b. Chứng minh DE là tiếp tuyến (O;R)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ \(\rightarrow AB\perp OB, AC\perp OC\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông:

\(AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{2R^2-R^2}=R\)

\(AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2R^2-R^2}=R\)

Tứ giác $ABOC$ có \(AB=BO=OC=CA=R\) nên là hình thoi.

Mà \(\widehat{OBA}=90^0\) nên suy ra $ABOC$ là hình vuông.

b)

Qua $D$ kẻ tiếp tuyến $DE'$ $(E'\in CA$) của $(O)$, tiếp điểm $K$.

Xét $(O)$, theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau:

\(DB, DK\) là tiếp tuyến của $(O)$

\(\Rightarrow DB=DK\)

\(E'C, E'K\) là tiếp tuyến của $(O)$

\(\Rightarrow E'C=E'K\)

Do đó:

\(P_{ADE'}=AD+DE'+AE'=AD+DK+KE'+AE'\)

\(=AD+DB+E'C+AE'=AB+AC=2R\)

Vậy \(P_{ADE'}=P_{ADE}\Rightarrow E\equiv E'\)

Do đó $DE$ là tiếp tuyến của $(O;R)$

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: