Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) AB và AC là tiếp tuyến của (O;R) =>AB⊥OB và AC⊥OC =>B và C nhìn OA góc 90° =>B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO hay A,B,C,) cùng nằm trên đường tròn đường kính AO.
Hai △AOB và △AOC là 2 tam giác vuông có chung cạnh huyền OA và 2 cạnh góc vuông OB=OC (cùng = R) => △AOB = △AOC =>OA là phân giác ∠BOC mà △BOC cân tại B =>OA là đường trung trực của BC.
b)xét △ODB và △OBA có 2 góc vuông tại D và B, chung góc nhọn tại O =>△ODB ∼ △OBA =>OD/OB=OB/OA =>OA.OD=OB²=R².
Cô hướng dẫn nhé.
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(OA\perp BC\)
Xét tam giác vuông OBA có đường cao BH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(OH.OA=OB^2=R^2\)
b) Ta thấy rằng \(\widehat{BCD}\) chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{BCD}=90^o\)
\(\Rightarrow DC\perp BC\)
Theo tính chất từ vuông góc tới song song ta có OA // CD
Ta cũng thấy ngay \(\Delta OCA\sim\Delta DKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AO}{CD}=\frac{AC}{CK}\Rightarrow AC.CD=CK.AO\)
Câu hỏi của Mafia - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em có thể tham khảo tại đây nhé.
OMABICDEF
a) Ta thấy OAM và OBM là các tam giác vuông có chung cạnh huyền OM nên A, O, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì MA = MB và MI là tia phân giác góc AMB.
Vậy thì tam giác MAB cân tại M, có phân giác MI đồng thời là đường cao.
Vậy nên \(OM\perp AB\) tại I.
c) Do D thuộc đường tròn (O) nên OC = OB = OD.
Suy ra tam giác BDC vuông tại D.
Xét tam giác vuông CBM, đường cao BD, ta có: \(MD.MC=BM^2\) (Hệ thức lượng)
Xét tam giác vuông OBM, đường cao BI, ta có: \(MI.MO=BM^2\) (Hệ thức lượng)
Vậy nên MD.MC = MI.MO
d) Ta thấy CEF và CAF là các tam giác vuông có chung cạnh huyền CF nên FAEC nội tiếp đường tròn đường kính CF.
\(\Rightarrow\widehat{FCE}=\widehat{EAB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CO)
Lại có O,E, A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM nên \(\widehat{EAB}=\widehat{EMB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
\(\Rightarrow\widehat{FCE}=\widehat{EMB}\)
Ta có \(\widehat{EMB}+\widehat{ECB}=90^o\Rightarrow\widehat{FCE}+\widehat{ECB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{FCB}=90^o\)
Vậy FC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Đường tròn c: Đường tròn qua B_1 với tâm O Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [O, M] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [M, H] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [H, O] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [A, M] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [M, B] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [A, O] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [O, B] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [N, B] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [E, J_1] Đoạn thẳng e: Đoạn thẳng [N, E] Đoạn thẳng f_1: Đoạn thẳng [E, B] Đoạn thẳng g_1: Đoạn thẳng [A, E] O = (6.36, -0.08) O = (6.36, -0.08) O = (6.36, -0.08) Điểm M: Điểm trên f Điểm M: Điểm trên f Điểm M: Điểm trên f Điểm H: Giao điểm đường của f, g Điểm H: Giao điểm đường của f, g Điểm H: Giao điểm đường của f, g Điểm A: Giao điểm đường của c, h Điểm A: Giao điểm đường của c, h Điểm A: Giao điểm đường của c, h Điểm B: Giao điểm đường của c, i Điểm B: Giao điểm đường của c, i Điểm B: Giao điểm đường của c, i Điểm I: Giao điểm đường của g, j Điểm I: Giao điểm đường của g, j Điểm I: Giao điểm đường của g, j Điểm K: Giao điểm đường của j, k Điểm K: Giao điểm đường của j, k Điểm K: Giao điểm đường của j, k Điểm N: A đối xứng qua F Điểm N: A đối xứng qua F Điểm N: A đối xứng qua F Điểm E: Giao điểm đường của a, k Điểm E: Giao điểm đường của a, k Điểm E: Giao điểm đường của a, k Điểm J: Trung điểm của A, N Điểm J: Trung điểm của A, N Điểm J: Trung điểm của A, N
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có tam giác MAB cân tại M có MK là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy thì K là trung điểm AB hay \(AK=\frac{AB}{2}\)
Ta thấy các tam giác MHO, MAO, MBO đều là các tam giác vuông chung cạnh huyền MO nên M, H, A, O B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
b) Do K là trung điểm AB nên theo tính chất đường kính dây cung, ta có \(\widehat{IKO}=90^o\)
Suy ra \(\Delta IKO\sim\Delta MHO\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{OI}{OM}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OI.OH=OM.OK\)
Xét tam giác vuông MBO, đường cao BK, ta có: \(OK.OM=OB^2=R^2\)
Vậy nên \(OI.OH=OK.OM=R^2\)
c) Ta thấy do trung điểm của BN cắt OM tại E nên EN = EB
Lại có EB = EA vì OM là đường trung trực của AB
Suy ra EA = EN hay tam giác EAN cân tại E.
Gọi J là trung điểm AN.
Xét tam giác cân EAN có EJ là trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
Vậy thì \(EJ\perp OA\) hay EJ // AM.
Xét tam giác OAM, áp dụng định lý Talet ta có:
\(\frac{OE}{OM}=\frac{OF}{OA}=\frac{2}{3}\)
A B O C H D E F
a) Do C thuộc đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go: \(BC=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)
Xét tam giác vuông ACB, đường cao CH. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
\(CH.AB=CA.BC\Rightarrow CH=\frac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)
Ta thấy \(sin\widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}\Rightarrow\widehat{ABC}\approx36^o52'\)
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(DC=DB\) và DO là phân giác góc BDC.
Vậy thì DO cũng là đường trung trực của BC hay \(DO\perp BC.\)
c) Xét tam giác vuông ABC, đường cao CH, ta có : \(AH.AB=AC^2\) (Hệ thức lượng)
Xét tam giác vuông AEB, đường cao AC, ta có: \(AC^2=EC.CB\) (Hệ thức lượng)
Vậy nên \(AH.AB=EC.CB\)
d) Ta thấy HC // AE (Cùng vuông góc với AB)
Áp dụng Ta let ta có: \(\frac{IH}{AF}=\frac{IC}{EF}\left(=\frac{IB}{FB}\right)\)
mà IH = IC nên AF = FE.
Xét tam giác vuông ACE có F là trung điểm cạnh huyền nên FA = FE = FC.
Xét tam giác FAO và FCO có: FO chung, FA = FC, AO = CO nên \(\Delta FAO=\Delta FCO\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{FCO}=\widehat{FAO}=90^o\)
Vậy nen FO là tiếp tuyến của đường tròn.
O A C B D H I M
a) Tam giác COD và HOD là các tam giác vuông có chung cạnh huyền OD nên O, H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính OD.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(OD\perp BC\)
Tam giác DIA và DHA là hai tam giác vuông có chung cạnh AD nên DIHA là tứ giác nội tiếp.
Vậy thì \(\widehat{IDA}=\widehat{IHO}\)
Từ đó ta có \(\Delta IOH\sim\Delta AOD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{OI}{OA}=\frac{OH}{OD}\Rightarrow OH.OA=OI.OD\)
c) Xét tam giác vuông DBO, chiều cao BI, ta có:
\(OI.OD=OB^2\) (Hệ thức lượng)
Mà \(OB^2=OM^2;OI.OD=OH.OA\Rightarrow OM^2=OH.OA\)
\(\Rightarrow\Delta OHM\sim\Delta OMA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{OMA}=\widehat{OHM}=90^o\)
Vậy AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Định nghĩa lại H là trung điểm OA. Ta thấy OQ là đường trung bình của tam giác ABF nên OQ//BF. Hơn nữa \(BF\perp BE\) nên \(OQ\perp BE\). Lại có \(BA\perp QE\) nên O là trực tâm của tam giác BEQ \(\Rightarrow OE\perp BQ\)
Mặt khác, PH là đường trung bình của tam giác AOE nên PH//OA. Do đó, \(PH\perp BQ\). Lại thấy rằng \(BH\perp PQ\) nên H là trực tâm tam giác BPQ (đpcm)
b) Ta có \(P=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\)
\(=\left(\sin^2\alpha\right)^3+\left(\cos^2\alpha\right)^3\)
\(=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha-\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right)\)
\(=1.\left[\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right]\)
\(=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)
\(\le1-3.\dfrac{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2}{4}\)
\(=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sin\alpha=\cos\alpha\) \(\Leftrightarrow\alpha=45^o\) hay 2 dây AB, CD vuông góc với nhau.
Vậy \(min_P=\dfrac{1}{4}\)
c) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}EC.EB=EA^2\\FD.FB=FA^2\end{matrix}\right.\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\(\Rightarrow EC.EB.FD.FB=\left(EA.FA\right)^2\)
\(\Rightarrow EC.FD.\left(EB.DB\right)=AB^4\)
\(\Rightarrow EC.FD.\left(EF.AB\right)=AB^4\)
\(\Rightarrow EC.FD.EF=AB^3=CD^3\) (đpcm)
Ta có \(EC.DF=AC.AD=BC.BD\)
\(\Rightarrow\dfrac{EC}{DF}=\dfrac{BC.BD}{DF^2}\)
\(=\dfrac{BC}{DF}.\dfrac{BD}{DF}\)
\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AC}{DF}\)
\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AE}{AF}\)
\(=\left(\dfrac{BE}{BF}\right)^3\)
Ta có đpcm.
Bài khá căng đấy