Question

[Phúc Hồ Thị Ngọc]

Cho đường thẳng (m-2)x+(m-1)y=1(d)

a) Chứng minh rằng: đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng là lớn nhất

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

a) Ta thấy điểm \(A\left(-1;1\right)\) thoả mãn phương trình của đường thẳng \(\left(m-2\right)x+\left(m-1\right)y=1\)  vì \(\left(m-2\right)\cdot\left(-1\right)+\left(m-1\right)\cdot1=-m+2+m-1=1.\) Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm cố đinh là \(A\left(-1;1\right)\).

b)  Kẻ \(OH\perp d.\) Vì \(A\in d\)  nên \(OH\le OA.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(H\equiv A\) hay đường thẳng \(d\perp OA\).  Ta có phương trình đường thẳng \(OA\)  là \(y=ax\) . Vì  \(OA\)  đi qua \(A\left(-1;1\right)\)  nên \(1=a\cdot\left(-1\right)=-a\to a=-1.\)  Vậy \(OA:y=-x.\)   Đường thẳng \(d:y=-\frac{m-2}{m-1}x+\frac{1}{m-1},\)  với \(m\ne1.\)  
Do đó \(d\perp OA\Leftrightarrow-\frac{m-2}{m-1}\cdot\left(-1\right)=-1\Leftrightarrow m-2=-\left(m-1\right)\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}.\)

Answer 2

[Trần Đức Thắng]

a) Gọi ( x0 ; y0 ) là điểm cố địn mà hàm số luôn đi qua 

Thay x = x0 ; y = y0 ta có :

( m - 2 )x0 + ( m - 1 )y0 = 1 

=> mx0 - 2x0 + my0 - y0 = 1 

=> mx0 + my0 = 1 + y0 + 2x0 

=> m(x0 + y0 ) = 1 + y0 + 2x0 

Vì đẳng thức luôn đúng với moi m nên 

x0  + y0 = 0         

y0 + 2x0 + 1 = 0   

=> x0 + 1 = 0 => x0 = -1 => y 0 = 1 

Vậy (-1;1) là điểm có định mà hàm số luôn đi qua