Question

[Đức Trịnh Minh]

Cho đoạn thẳng AB. O là trung điểm. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB kẻ Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên Ac lấy điểm C khác A. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt By tại D. Từ O hạ \(OM\perp CD\)

a) Chứng minh \(OA^2=AC.BD\)

b) Chứng minh \(\Delta AMB\) vuông

c) Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh MN//AC

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a)

Xét tam giác $COA$ và tam giác $ODB$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{CAO}=\widehat{OBD}=90^0\\ \widehat{COA}=\widehat{ODB}(=90^0-\widehat{DOB})\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle COA\sim \triangle ODB(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{CA}{OA}=\frac{OB}{DB}\Rightarrow OA.OB=CA.BD\)

Mà \(OA=OB\Rightarrow CA.BD=OA^2\) (đpcm)

b)

Kẻ $CO$ cắt tia đối của tia $By$ tại $I$

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{CAO}=\widehat{IBO}=90^0\\ OA=OB\\ \widehat{COA}=\widehat{IOB}(\text{đối đỉnh})\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle CAO=\triangle IBO(g.c.g)(*)\Rightarrow CO=IO\)

Tam giác $DCI$ có đường cao $DO$ đồng thời là trung tuyến nên $DCI$ là tam giác cân tại $D$

\(\Rightarrow DO\) đồng thời là đường phân giác của góc D

\(\Rightarrow \widehat{CDO}=\widehat{IDO} \) hay \(\widehat{MDO}=\widehat{BDO}\)

Xét tam giác $MDO$ và $BDO$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MDO}=\widehat{BDO}\\ \widehat{DMO}=\widehat{DBO}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle MDO\sim \triangle BDO\Rightarrow \frac{MO}{BO}=\frac{DO}{DO}=1\)

\(\Rightarrow MO=BO=\frac{1}{2}AB\)

Tam giác $MAB$ có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên là tam giác vuông.

c) Theo phần b \(\triangle MDO\sim \triangle BDO\Rightarrow \frac{MD}{BD}=\frac{DO}{DO}=1\)

\(\Rightarrow MD=BD\)

Mà \(DC=DI\Rightarrow CM=BI\)

Từ (*) ta cũng có \(CA=BI\) nên suy ra $CA=CM$

Do đó: \(\frac{CA}{BD}=\frac{CM}{MD}\)

Mà theo định lý Talet thì: \(\frac{CN}{NB}=\frac{CA}{BD}\Rightarrow \frac{CM}{MD}=\frac{CN}{NB}\)

Theo định lý Talet đảo suy ra \(MN\parallel BD\parallel AC\)

Answer 2

[my yến]

Lời giải:

a)

Xét tam giác COA và tam giác ODB có:

{^CAO=^OBD=900^COA=^ODB(=900−^DOB)

⇒△COA∼△ODB(g.g)

⇒CAOA=OBDB⇒OA.OB=CA.BD

Mà OA=OB⇒CA.BD=OA2 (đpcm)

b)

Kẻ CO cắt tia đối của tia By tại I

Ta có: {^CAO=^IBO=900OA=OB^COA=^IOB(đối đỉnh)

⇒△CAO=△IBO(g.c.g)(∗)⇒CO=IO

Tam giác DCI có đường cao DO đồng thời là trung tuyến nên DCI là tam giác cân tại D

⇒DO đồng thời là đường phân giác của góc D

⇒^CDO=^IDO hay ^MDO=^BDO

Xét tam giác MDO và BDO có:

{^MDO=^BDO^DMO=^DBO=900

⇒△MDO∼△BDO⇒MOBO=DODO=1

⇒MO=BO=12AB

Tam giác MAB có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên là tam giác vuông.

c) Theo phần b △MDO∼△BDO⇒MDBD=DODO=1

⇒MD=BD

Mà DC=DI⇒CM=BI

Từ (*) ta cũng có CA=BI nên suy ra CA=CM

Do đó: CABD=CMMD

Mà theo định lý Talet thì: CNNB=CABD⇒CMMD=CNNB

Theo định lý Talet đảo suy ra MN∥BD∥AC