Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bổ đề: Xét tam giác ABC (BC = a, CA = b; AB = c). Nếu a2 = b(b+c) thì ^BAC = 2^ABC.
A B C M
Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho ^CAM = ^CBA. Khi đó \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB (g.g) => CA2 = CM.CB
Hay b2 = a.CM. Thay vào a2 = b(b+c) ta được a2 = a.CM + bc <=> a(a - CM) = bc
<=> a.BM = bc => BM = \(\frac{bc}{a}\). Cũng từ \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB suy ra \(\frac{AM}{BA}=\frac{CA}{CB}\)
Hay \(\frac{AM}{c}=\frac{b}{a}\)=> AM = \(\frac{bc}{a}\)= BM => \(\Delta\)AMB cân tại M => ^ABC = ^MAB = ^CAM = ^BAC/2
Quay trở lại bài toán:
A B C D
a) Ta có \(\frac{1}{CD}-\frac{1}{BD}=\frac{1}{CD+BD}\Leftrightarrow\frac{CD+BD}{CD}-\frac{CD+BD}{BD}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{BD}{CD}-\frac{CD}{BD}=1\Leftrightarrow\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{CD}-1=\frac{BC}{CD}\Rightarrow CD^2=BC.BD\)
\(\Rightarrow CD^2=BC\left(BC+CD\right)\) hoặc \(AC^2=BC\left(BC+AB\right)\)
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)ABC ta được ^ABC = 2^BAC. Do \(\Delta\)ABC cân tại A nên:
^BAC = 1800 - 2^ABC => ^BAC = 1800 - 4^BAC => 5^BAC = 1800 => ^BAC = 360 . Vậy ...
b) Dễ có ^ACD = 1080 => ^CAD = ^CDA = 360 => \(\Delta\)BAD cân tại D => BD = AD
Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)DBA: ^BAC = ^BDA (=360), ^B chung => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)BDA (g.g)
=> AB2 = BC.BD = BC.AD (Vì BD = AD) (đpcm).
10,20,30