Question

[Phan thị]

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn

(O; R) (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh: OA L BC .b) Kể đường Kính BD của (O). Chứng minh: DC // OA.

c) Gọi H là giao điếm AO và BC, đường thăng AO căt đường tròn (O) lần lượt tại F và E sao cho AF nhỏ hơn AO. Chứng minh: HF.EA = FA.HE.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>CB⊥CD

mà OA⊥BC

nên OA//CD

c: Ta có: \(\hat{FBA}+\hat{OBF}=\hat{OBA}=90^0\)

\(\hat{HBF}+\hat{OFB}=90^0\) (ΔBHF vuông tại H)

mà \(\hat{OBF}=\hat{OFB}\) (ΔOBF cân tại O)

nên \(\hat{FBA}=\hat{HBF}\)

=>BF là phân giác của góc HBA

Xét (O) có

ΔBFE nội tiếp

FE là đường kính

Do đó: ΔBFE vuông tại B

=>BF⊥BE

=>BE là phân giác ngoài tại đỉnh B của ΔHBA

Xét ΔHBA có BF là phân giác của góc HBA

nên \(\frac{FH}{FA}=\frac{BH}{BA}\left(3\right)\)

Xét ΔHBA có BE là phân giác ngoài tại đỉnh B

nên \(\frac{EH}{EA}=\frac{BH}{BA}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{FH}{FA}=\frac{EH}{EA}\)

=>\(FH\cdot EA=FA\cdot EH\)