Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz dạng phân thức ta có :
\(\dfrac{a^2}{1+b-a}+\dfrac{b^2}{1+c-b}+\dfrac{c^2}{1+a-c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)
( vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) )
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b=c= \(\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
Vì a,b,c là các số dương \(\Rightarrow\) a,b,c > 0
Vì a,b,c > 0,Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta được:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\)(1)
Mà \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\) = \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)=\(\dfrac{a+b+c}{2}\)(2)
Từ (1),(2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\) \(\geq\) \(\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Cách 2 : Vì a,b,c là các số dương \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a+b}{4}>0,\dfrac{b+c}{4}>0,\dfrac{c+a}{4}>0\)
Áp dụng bất dẳng thức AM - GM cho các số không âm , ta có :
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge a\)
\(\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge b\)
\(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng vế theo vế , ta có :
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge a+b+c\)
Trừ cả hai vế cho \(\dfrac{a+b+c}{2}\) , ta có :
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)\(\Leftrightarrow a+\dfrac{a^2}{b+c}+b+\dfrac{b^2}{c+a}+c+\dfrac{c^2}{a+b}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\left(dpcm\right)\)
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
\(\Rightarrow \left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)(a+b+c)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{b(c+a)}{c+a}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c(a+b)}{a+b}+\frac{c^2}{a+b}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)
Ta có đpcm.
Sai thì bỏ qua ( bạn bè mà ) !
Nếu \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=-1-1-1=-3\)(vô lí )
\(\Rightarrow a+b+c\ne0\)
Ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)
Đặt a + b + c = H
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{c^2}{b+a}+\frac{ac}{c+b}+\frac{bc}{a+c}=H\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}+\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{bc}{a+b}\right)+\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{c+b}\right)=H\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}+a+b+c=H\)( Chỗ này làm hơi tắt bỏ qua nha )
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}=H-\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}=0\left(đpcm\right)\)
ĐK:....
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c\)(nhân vào rồi tách)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)
Việt Hoàng _ TTH (*Yonko Team*): Mình chưa xem kỹ nhưng có lẽ hướng làm bạn là sai òi nhé!