Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C H M Q P O K
Xét tam giác APM vuông tại P ta có PO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.
=> OA = OP = OM.
Tương tự cho tam giác AHM vuông tại h và tam giác AQM vuông tại Q ta có:
OA = OP = OH = OM = OQ (1)
=> Tam giác AOP và tam giác AOH cân tại O.
Xét tam giác ABC đều ta có:
AH là đường cao cũng là đường phân giác
=> góc BAH = 1/2 góc BAC = 30 độ.
Ta có:
góc POM = 2 góc PAO ( góc ngoài của tam giác AOP cân tại O)
góc HOM = 2 góc HAO ( góc ngoài của tam giác AOH cân tại O)
=> góc POM - góc HOM = 2( góc PAO - góc HAO)
=> góc POH = 2 góc PAH
Mà góc PAH = 30 độ ( cmt)
Nên góc POH = 60 độ
Mặt khác OH = OP ( cmt)
=> tam giác POH đều.
=> PH = OP (2)
Tương tự ta có tam giác QOH đều
=> QH = OQ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra OP = OQ = PH = HQ
=> Tứ giác OPHQ là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)
Gọi K là giao điểm của OH và PQ.
Do tứ giác OPHQ là hình thoi và K là giao điểm 2 đường chéo OH và PQ
Nên K là trung điểm của OH và PQ và OH vuông góc với PQ tại K.
=> OK = 1/2 OH = 1/4 AM.
Xét tam giác OKP vuông tại K theo định lý Pitago thuận ta có:
PK2 = OP2 - OK2 = 1/4 AM2 - 1/16 AM2 = 3/16 AM2
=> PK = \(\frac{\sqrt{3}}{4}AM\)
=> PQ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}AM\)
=> PQ nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất.
Mà AM nhỏ nhất khi AM = AH
=> M trùng với H thì PQ nhỏ nhất.
Xét tam giác APM vuông tại P ta có PO là đường trung t
Xét tam giác APM vuông tại P ta có PO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.
=> OA = OP = OM.
Tương tự cho tam giác AHM vuông tại h và tam giác AQM vuông tại Q ta có:
OA = OP = OH = OM = OQ (1)
=> Tam giác AOP và tam giác AOH cân tại O.
Xét tam giác ABC đều ta có:
AH là đường cao cũng là đường phân giác
=> góc BAH = 1/2 góc BAC = 30 độ.
Ta có:
góc POM = 2 góc PAO ( góc ngoài của tam giác AOP cân tại O)
góc HOM = 2 góc HAO ( góc ngoài của tam giác AOH cân tại O)
=> góc POM - góc HOM = 2( góc PAO - góc HAO)
=> góc POH = 2 góc PAH
Mà góc PAH = 30 độ ( cmt)
Nên góc POH = 60 độ
Mặt khác OH = OP ( cmt)
=> tam giác POH đều.
=> PH = OP (2)
Tương tự ta có tam giác QOH đều
=> QH = OQ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra OP = OQ = PH = HQ
=> Tứ giác OPHQ là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)
Gọi K là giao điểm của OH và PQ.
Do tứ giác OPHQ là hình thoi và K là giao điểm 2 đường chéo OH và PQ
Nên K là trung điểm của OH và PQ và OH vuông góc với PQ tại K.
=> OK = 1/2 OH = 1/4 AM.
Xét tam giác OKP vuông tại K theo định lý Pitago thuận ta có:
PK2 = OP2 - OK2 = 1/4 AM2 - 1/16 AM2 = 3/16 AM2
=> PK = \(\frac{\sqrt{3}}{4}AM\)
=> PQ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}AM\)
=> PQ nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất.
Mà AM nhỏ nhất khi AM = AH
=> M trùng với H thì PQ nhỏ nhất.
Ta có
\(MN\perp BC;AB\perp BC\) => MN//AB \(\Rightarrow\frac{MN}{AB}=\frac{CM}{CA}\) (Talet trong tam giác)
\(MP\perp AD;CD\perp AD\) => MP//CD \(\Rightarrow\frac{MP}{CD}=\frac{AM}{CA}\) (Talet trong tam giác)
\(\Rightarrow\frac{MN}{AB}+\frac{MP}{CD}=\frac{CM}{CA}+\frac{AM}{CA}=\frac{CA}{CA}=1\left(dpcm\right)\)
a, tam giác ABC cân tại A (gt)
=> góc B = góc C (đl)
xét tam giác HBD và tam giác KCE có : BD = CE (gt)
góc BHD = góc EKC = 90 do DH _|_ AB; EK _|_ AC (gt)
=> tam giác HBD = tam giác KCE (ch-gn)
A B C P F Q M E
Giải
Trên tia đối của tia MQ lấy điểm E sao cho MP = ME
Hạ BF \(\perp\) AC
Ta có: góc BMP = góc QMC (cùng phụ với hai góc đáy của tam giác cân ABC)
Mà góc QMC = góc BME (đối đỉnh)
Suy ra góc BMP = góc BME
Xét \(\Delta\)BPM và \(\Delta\)BEM có:
BM cạnh chung
góc BMP = góc BME (cmt)
PM = EM (cmt)
=> \(\Delta\)BPM = \(\Delta\)BEM (c.g.g)
Suy ra góc BEM = góc BPM = 900
nên BEQF là hình chữ nhật
Do đó EQ = BF
Hay MP + MQ = EM + MQ = EQ
MP + MQ = BF
mà BF là đường cao vẽ từ B của \(\Delta\)ABC
nên MP + MQ không đổi