Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tự vẽ hình nha
c) AE là tia phân giác của góc CAB => sđcEC=sđcEB=> EC=EB=> OE vuông góc vs BC
Góc OAE= góc OEA(1)
OE song song vs AH (cùng vuông góc vs BC)=> OEA=EAH(2)
Từ (1) và (2) => góc OAE= góc EAH => AE là tia phân giác của góc OAH
\(\widehat{BAC}=60^0\Rightarrow\widehat{BOC}=120^0\)
\(BC=\sqrt{2R^2-2R^2.\cos120^0}=R\sqrt{3}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.3.2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)
Mình sẽ làm từ câu C nha vì câu C có liên quan đến câu cuối
c/ Xét tam giác ABF và tam giác AEC ta có :
Góc BAF = góc CAE ( AF là phân giác)
góc ABF = góc AEC ( 2 góc nt chắn cung AC)
=>tam giác ABF đồng dạng tam giác AEC (g-g)
=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AF}{AC}\)=>AB.AC=AE.AF
d/ Xét tam giác ABF và tam giác CFE ta có:
góc ABF = góc FEC ( 2 góc nt chắn cung AC )
góc BAF = góc FCE (2 góc nt chắn cung EB )
=> tam giác ABF đồng dạng tam giác CEF (g-g)
=>\(\frac{FB}{FE}=\frac{FA}{FC}\)=>FB.FC=FA.FE
Ta có AF.AE=AB.AC (cmt)
AF.FE=BF.CF (cmt)
=> AF.AE-AF.FE = AB.AC - BF.CF
=> AF(AE-FE) = AB.AC - BF.CF
=> \(AF^2=AB.AC-BF.CF\)
a) Xét (O) có AE là tia phân giác của góc BAC
=> ^BAE=^CAE
=> sđBE=sđCE
=> BE=CE (liên hệ giữa cung và dây cung)
=> tam giác BEC cân tại E (đpcm)
b) Tứ giác ABEC nội tiếp (O)
=> ^BAC+^BEC=180 độ (2 góc đối nhau)
<=> ^BEC=180 độ - ^BAC
Tam giác ABC có ^BAC+^ABC+^BCA=180 độ
=> =180 độ - ^BAC=^ABC+^BCA
Suy ra Góc BEC = góc ABC + góc ACB (đpcm)
c) AE là tia phân giác của góc BAC
=> ^BAE=^CAE
Hay ^BAF=^CAE
Tứ giác ABEC nội tiếp (O)
=> ^ABC=^AEC (2 góc nt chắn cung AC)
Hay ^ABF=^AEC
Xét tam giác ABF và tam giác AEC có:
^ABF=^AEC
^BAF=^CAE
=> tam giác ABF ~ tam giác AEC (g-g)
=> AB/AF=AE/AC
<=> AB.AC=AE.AF (đpcm)
A B C O E F S T I Q K D N J L P M G R
a) +) Dễ thấy: ^BAD = ^CAO (Cùng phụ ^ABC). Mà ^BAI = ^CAI nên ^OAI = ^DAI
Suy ra: ^OAI = ^DAO/2 = ^BAI - ^BAD = ^BAC/2 - 900 + ^ABC = ^BAC/2 - (^BAC+^ABC+^ACB)/2 + ^ABC
= (^ABC + ^ACB)/2 = \(\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{sđ\widebat{BAC}}\) (đpcm).
+) Kẻ đường kính AG của đường tròn (O). Dễ thấy: Tứ giác BICJ nội tiếp, gọi (BICJ) cắt AC tại R khác C.
Do AK=2R nên AK = AG. Ta có: ^ARB = ^ARI + ^BRI = ^IBC + ^ICB = (^ABC+^ACB)/2 = ^ABI + ^IBC = ^ABR
=> \(\Delta\)BAR cân tại A => AB = AR. Kết hợp với AK=AG, ^BAG = ^RAK (cmt) => \(\Delta\)ABG = \(\Delta\)ARK (c.g.c)
=> ^ABG = ^ARK = 900 => ^KRC = ^KDC = 900 => Tứ giác DKCR nội tiếp
=> AD.AK = AR.AC = AI.AJ => Tứ giác DIJK nội tiếp (đpcm).
b) \(\Delta\)KAG cân tại A có phân giác AI => AI vuông góc KG hay AM vuông góc KG. Mà AM vuông góc GM
Nên K,G,M thẳng hàng => K,M,G,N thẳng hàng => AM vuông góc KN tại M
Ta thấy: M là trung điểm IJ, KM vuông góc IJ tại M nên \(\Delta\)KIJ cân tại K
Xét đường tròn (KIJ): KI = KJ, KN vuông góc IJ => KN là đường kính của (KIJ)
Mà D thuộc đường tròn (KIJ) (cmt) => ^KDN = 900 => ND vuông góc AK tại D => N,L,D thẳng hàng
Xét \(\Delta\)AKN có: AM vuông góc KN, ND vuông góc AK, AM và ND cùng đi qua L
=> L là trực tâm \(\Delta\)AKN => KL vuông góc AN (đpcm).
c) Gọi P là trực tâm của \(\Delta\)AJQ
Do \(\Delta\)KIJ cân tại K => ^KIJ = ^KJI. Có tứ giác DIJK nội tiếp => ^KIJ = ^KDJ => ^KDJ = ^KJI
Từ đó: \(\Delta\)DKJ ~ \(\Delta\)JKA (g.g) => KJ2 = KD.KA => KQ2 = KD.KA => \(\Delta\)KQD ~ \(\Delta\)KAQ (c.g.c)
Suy ra: ^QDJ = ^KDQ + ^KDJ = ^AQK + ^AJK = 1800 - ^QAJ = 1800 - ^QPJ => Tứ giác PQDJ nội tiếp
^PDJ = ^PQJ => ^PDK + ^KDJ = ^PDK + ^QJA = ^PQJ => ^PDK = ^PQJ - ^QJA = 900
=> PD vuông góc AD. Mà BC vuông góc AD tại D nên PD trùng BC hay P nằm trên BC (đpcm).
d) Ta thấy: ^ABC > ^ACB (\(\alpha>\beta\)) => ^BAD < ^CAD. Lại có: ^BAI = ^CAI, ^BAD + ^CAD = ^BAI + ^CAI = ^BAC
Suy ra ^BAD < ^BAI => B và I nằm khác khía so với AD => D thuộc [BF]
Hạ IS, IT vuông góc với AC,AB thì F thuộc [DT] => Thứ tự các điểm trên BC là B,D,F,T,C. Do đó: ^IFC = ^DFK < 900
Ta xét thứ tự các điểm trên cạnh AC:
+) A,S,E,C: Vì IS vuông góc AC, theo thứ tự này thì ^IEC > 900. Cũng dễ có: \(\Delta\)IES = \(\Delta\)IFT (Ch.cgv)
=> ^IES = ^IFT < 900 => ^IFT + ^IEC = 1800 => Tứ giác FIEC nội tiếp => ^ECF = ^DIK
Mà ^DIK = ^DJK = ^DAI = \(\frac{\alpha-\beta}{2}\) nên \(\beta=\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha=3\beta\) (*)
+) A,E,S,C: Trong TH này thì ^IEC < 900 => ^IFT + ^IEC < 1800 => ^ECF + ^EIF > 1800
=> ^ECF > ^DIK hay \(\beta>\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha< 3\beta\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: \(\alpha\le3\beta\) (đpcm).
Cho BG cắt AC tại N, CG cắt AB tại P. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CF,AF tại I,J. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt EB,EA tại D,H
\(\Delta BCA\)và \(\Delta CDB\)có : \(\widehat{ABC}=\widehat{BCD}\left(slt\right);\widehat{BAC}=\widehat{CBD}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên \(\Delta BCA\infty\Delta CDB\left(g.g\right)\). Suy ra : \(\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{BC}\Leftrightarrow BC^2=AB.CD\left(1\right)\)
\(\Delta BCA\)và \(\Delta IBC\)có : \(\widehat{BCA}=\widehat{IBC}\left(slt\right);\widehat{BAC}=\widehat{ICB}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên \(\Delta BCA\infty\Delta IBC\left(g.g\right)\). Suy ra : \(\frac{BC}{IB}=\frac{CA}{BC}\Leftrightarrow BC^2=IB.CA\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AB.CD=IB.CA\Leftrightarrow\frac{AB}{BI}=\frac{AC}{CD}\)
Áp dụng hệ quả định lí Talet : AC // IJ\(\Rightarrow\frac{AN}{JB}=\frac{FN}{FB}=\frac{CN}{BI}\Rightarrow BJ=BI\)(vì AN = CN)
AB // DH\(\Rightarrow\frac{PB}{CD}=\frac{EP}{EC}=\frac{AP}{HC}\Rightarrow CD=HC\)(vì PB = AP)
\(\frac{AB}{BI}=\frac{AC}{CD}\Leftrightarrow\frac{AB}{BJ}=\frac{AC}{CH}\). \(\widehat{JBA}=\widehat{CAB};\widehat{CAB}=\widehat{ACH}\left(slt\right)\Rightarrow\widehat{JBA}=\widehat{ACH}\)
\(\Delta ABJ,\Delta ACH\)có \(\widehat{JBA}=\widehat{HCA};\frac{AB}{BJ}=\frac{AC}{CH}\Rightarrow\Delta ABJ\infty\Delta ACH\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AJB\:}=\widehat{AHC}\)
Mà \(\widehat{AJB\:}=\widehat{FAC};\widehat{AHC}=\widehat{EAB}\)(đồng vị) nên \(\widehat{EAB}=\widehat{FAC}\)
P/S : - Bài này là câu 7 của đề thi HSG Toán 9 Đà Nẵng 2017 - 2018 vào ngày 1/3 vừa qua. Mình bí bài này nhưng đã nhận được đáp án đề thi và muốn đưa bài giải cho mọi người tham khảo
- Link đáp án : www.facebook.com/toaji.phan/posts/595746860776994?pnref=story
- Link hình : www.facebook.com/toanhockhocothayanh/photos/a.258465918014842.1073741829.258088654719235/295108181017282/?type=3&theater