Question

[Hồ Minh Phi]

Cho \(\Delta ABC\)có \(\widehat{A}=\widehat{B}+2\widehat{C}\)và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C D 1 2 1

Trong \(\Delta\)ABC có: ^A = ^B +2.^C => ^A > ^B và ^A > ^C => BC là cạnh lớn nhất trong tam giác ABC.

+) Xét trường hợp: AB < AC < BC. Khi đó; ta đặt: AB = a; AC = a+1; BC = a+2 (Với a thuộc N^*)

Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ^BAD = ^ACB, hay ^A₁ = ^C (theo hình vẽ)

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)DBA có: ^A₁ = ^C; ^B chung => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)DBA (g.g)

=> \(\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}\)=> AB² = BC.BD hay a² = (a+2).BD  (*)

Ta thấy: ^BAC = ^B + 2.^C; ^BAC = ^A₁ + ^A₂ = ^C + ^A₂ => ^B + 2.^C = ^C + A₂ <=> ^B + ^C = ^A₂  (1)

Do ^D₁ là góc ngoài \(\Delta\)BAD nên ^D₁ = ^A₁ + ^B = ^B + ^C (Vì ^C = ^A₁) (2)

Từ (1) và (2) => ^D₁ = ^A₂ => \(\Delta\)ACD cân tại C => AC= CD = a+1 => BD = BC - CD = BC - AC = a+2 - a - 1 = 1

Thay BD = 1 vào (*) ta có: 

\(a^2=\left(a+2\right).1\Leftrightarrow a^2-a-2=0\Leftrightarrow a^2+a-2a-2=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)-2\left(a+1\right)=0\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-1\\a=2\end{cases}}\)

=> a = 2. (Loại TH a = -1 vì a thuộc N^*) => a+1 = 3; a+2 = 4

Hay AB = 2; AC = 3; BC = 4

+) Xét trường hợp AC < AB < BC. Đặt AC = a; AB = a+1; BC = a+2

Chứng ming tương tự TH 1; ta có: AB² = BC.BD; BD = BC - CD = BC - AC = a+2 - a = 2 

Hay \(\left(a+1\right)^2=2\left(a+2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1=2a+4\Leftrightarrow a^2=3\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{3}\)(loại vì a thuộc N*)

Vậy độ dài 3 cạnh trong \(\Delta\)ABC t/m đề là AB = 2; AC = 3; BC = 4.