Question

[Trang Nhung]

Cho \(\Delta ABC\)có ba góc nhọn và ba cạnh không bằng nhau. Kẻ đường cao \(AH\), trung tuyến \(BM\), phân giác trong \(CL\). Các giao điểm này tạo thành \(\Delta PQR\). Hỏi \(\Delta PQR\)có thể là tam giác đều không?

Answer 1

[Hà Minh Hiếu]

A B C H M L P Q R .

GIẢ SỬ TAM GIÁC PQR LÀ TAM GIÁC ĐỀU

TA CÓ GÓC PRQ = 60

=> GÓC BMC + GÓC ACB = 120

=> GÓC BMC + GÓC \(\frac{ACB}{2}=120\)

=> GÓC BMC = \(120-\frac{ACB}{2}\)

NỐI HM

DO HM LÀ ĐƯỞNG TRUNG TUYẾN ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN CỦA TAN GIÁC AHC VUÔNG TAI H

=> MH = AM = MC

=> GÓC HMC = 180 - 2 . GÓC ACB   VÀ   GÓC MHA = GÓC HAC = 90 - GÓC ACB

=> GÓC BMH = GÓC BMC - GÓC HMC = \(120-\frac{ACB}{2}-180+2.ACB\)

DO GÓC QPR = 60

=> GÓC MHA + GÓC BMH = 120

=> 90 - GÓC ACB + 120 - \(\frac{ACB}{2}-180+2.ACB=120\)

=> 30 + \(\frac{ACB}{2}=120\)

=> GÓC ACB = 90 . 2 = 180 ( VÔ LÍ )

VẬY TAM GIÁC PQR KHÔNG THỂ LÀ TAM GIÁC ĐỀU

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C H M L P Q R 1 2

Cách 2:

Giả sử \(\Delta\)PQR là tam giác đều \(\Rightarrow\)^QPR=^PRQ=^PQR=60⁰.

Xét \(\Delta\)PHC: ^PHC=90⁰ \(\Rightarrow\)^C₂=90⁰-^QPR=30⁰

Do CL là phân giác trong của ^ACB \(\Rightarrow\)^C₁=^C₂=30⁰\(\Rightarrow\)^ACB=60⁰ (1)

Ta có: ^PRQ=^MRC=60⁰ (Đối đỉnh).

Xét \(\Delta\)RMC: ^RMC=180⁰-(^MRC+^C₁)=180⁰-90⁰=90⁰ \(\Rightarrow\)RM\(⊥\)AC hay BM\(⊥\)AC

\(\Rightarrow\)BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta\)ABC\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ABC cân tại B (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)\(\Delta\)ABC đều \(\Rightarrow\)AB=BC=AC (Mâu thuẫn với đề bài)

\(\Rightarrow\)Giả sử là Sai. Vậy nên \(\Delta\)PQR không thể là tam giác đều.