Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Ánh

Question

Cho dãy số: $a_{n+2}=2.a_{n+1}-a_n+1$ ($x\in$ N*). Biết $a_1=1;a_2=3$

Chứng minh rằng:

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Đây là toán 8 thật à :(((((

$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1$

Đặt $b_n=a_{n+1}-a_n\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}$

$\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1=b_n+1$

Lại có $b_1=a_{1+1}-a_1=a_2-a_1=2$

$\Rightarrow b_2=b_1+1$

$\Rightarrow b_3=b_2+1$

...

$\Rightarrow b_n=b_{n-1}+1$

Cộng vế với vế:

$b_2+b_3+...+b_{n-1}+b_n=b_1+b_2+...+b_{n-1}+1+1+...+1$ (n-1 số 1)

$\Rightarrow b_n=b_1+1\left(n-1\right)=n+1$

$\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n+1$

Từ đó $\Rightarrow a_{n+1}=a_n+n+1$

$\Rightarrow a_n=a_{n-1}+n$

$\Rightarrow a_{n-1}=a_{n-2}+n-1$

...

$\Rightarrow a_3=a_2+3$

$\Rightarrow a_2=a_1+2$

Lại cộng vế với nhau:

$a_{n+1}+a_n+...+a_3+a_2=a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+\left(n+1\right)+n+...+2$

$\Rightarrow a_{n+1}=a_1+\left(n+1\right)+n+...+2$

$\Rightarrow a_{n+1}=\left(n+1\right)+n+...+2+1$

$\Rightarrow a_n=n+n-1+...+1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

$\Rightarrow a_{n+2}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{2}$

$\Rightarrow4a_{n+2}a_n+1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1$

$=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1$

$=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1$

$=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1$

$=\left(n^2+3n+1\right)^2$ (đpcm)

Câu trả lời: