Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn : a+ b + c = 1 . CMR
\(\frac{a+1}{a+b+c}+\frac{b+1}{b+ac}+\frac{c+1}{c+ab}\ge9\)Dấu " = " xay ra khi nào
a) Xét (O) có :
AB là tiếp tuyến tại B
AC là tiếp tuyến tại C
AB cắt AC tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)và OA là p/g \(\widehat{BOC}\)
Xét tg ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o\)Mà 2 góc này đối nhau
\(\Rightarrow\)ABOC là tg nt
b) Xét (O) có
\(\widehat{ABE}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BE
\(\widehat{BDE}\)là góc nt chắn cung BE
\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BDE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\)
Xét \(\Delta ABEvà\Delta ADB:\)
\(\widehat{BAD}\)chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)
\(\Rightarrow\Delta ABE\infty\Delta ADB\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)
c) Vì OA là p/g \(\widehat{BOC}\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Do ABOC là tg nt\(\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{BCA}\)(cùng chắn cung AB)
Suy ra \(\widehat{AOC}=\widehat{ACB}\)
a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
b: Ta có; ΔFBC vuông tại F
mà FO là đường trung tuyến
nên OF=OC
=>ΔOFC cân tại O
=>\(\widehat{OFC}=\widehat{OCF}\)
mà \(\widehat{OCF}=\widehat{BAD}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
nên \(\widehat{OFC}=\widehat{BAD}\)
c) Gọi J là trung điểm OH. Vẽ đường tròn đường kính OH. Khi đó vì \(\widehat{ODH}=90^o\) nên \(D\in\left(J\right)\). Vẽ đường tròn (BC)
Xét tam giác AEH và ADC, ta có: \(\widehat{AEH}=\widehat{ADC}=90^o\) và \(\widehat{HAC}\) chung \(\Rightarrow\Delta AEH\sim\Delta ADC\)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AC}\)
\(\Rightarrow AE.AC=AD.AH\)
\(\Rightarrow P_{A/\left(O\right)}=P_{A/\left(J\right)}\)
\(\Rightarrow\) A nằm trên trục đẳng phương của (O) và (J).
Mặt khác, trong đường tròn (O), ta có: \(\widehat{FOE}=2\widehat{FCE}=\widehat{HCE}+\widehat{HBF}\) \(=\widehat{HDE}+\widehat{HDF}=\widehat{FDE}\) nên tứ FDOE nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{FOD}=\widehat{FED}\)
Xét tam giác MDE và MFO, ta có:
\(\widehat{MED}=\widehat{MOF},\widehat{EMO}\) chung
\(\Rightarrow\Delta MDE\sim\Delta MFO\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MD}{MF}=\dfrac{ME}{MO}\)
\(\Rightarrow MD.MO=MF.ME\)
\(\Rightarrow P_{M/\left(J\right)}=P_{M/\left(O\right)}\)
\(\Rightarrow\) M thuộc trục đẳng phương của (J) và (O)
Do đó AM là trục đẳng phương của (O) và (J) \(\Rightarrow AM\perp OJ\) hay \(AM\perp OH\)
Lại có \(AH\perp OM\) nên H là trực tâm tam giác AOM \(\Rightarrow MH\perp AO\) (đpcm)