Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho đa thức \(f\left(x\right)\)bậc 3 với hệ số \(x^3\)là số nguyên dương thỏa mãn:
\(f\left(2019\right)=2020;f\left(2020\right)=2021\)
CMR \(f\left(2021\right)-f\left(2018\right)\)là hợp số
Ta có: \(a+b+c=3\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=9-\left(a^2+b^2+c^2\right)=6\Rightarrow ab+bc+ca=3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà a + b + c = 3 nên a = b = c = 1
Suy ra \(P=\left(-1\right)^{2019}+\left(-1\right)^{2020}+\left(-1\right)^{2021}=-1\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}4k\equiv-1\left(modp\right)\\4k-1\equiv-2\left(modp\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(4k\right)!\equiv\left[\left(2k\right)!\right]^2\left(modp\right)\)
Theo định lý Wilson kết hợp với định lý Fecma nhỏ ta có:
Với \(n=4k\left(2k\right)!\) thì:
\(2^n-1\left[2^{\left(2k\right)!}\right]^{4k}-1\equiv0\left(modp\right)\)
\(\Rightarrow n^2+2^n=\left[4k.\left(2k\right)!\right]^2+2^{4k\left(2k\right)!}\equiv0\left(modp\right)\)
\(\Rightarrow\) Có vô số giá trị của \(n\) thỏa mãn.
Từ giả thiết ta có \(P\left(k\right).\left(k+1\right)=k\)
Đặt \(Q\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)-x\)
Khi đó \(Q\left(k\right)=\left(k+1\right).P\left(k\right)-k=0\) thỏa mãn với mọi \(k\in\left\{0;1;2;3;4;.............;2020\right\}\)
Theo định lý Bézout ta có
\(Q\left(x\right)=x.\left(x-1\right).\left(x-2\right).\left(x-3\right)....\left(x-2020\right).R\left(x\right)\)
Vì đa thức \(P\left(x\right)\) có bậc là 2020 nên đa thức \(Q\left(x\right)\) có bậc là 2021.
Suy ra đa thức \(R\left(x\right)\) có bậc là 0 , hay còn gọi là đa thức \(R\left(x\right)\) không chứa biến số.
Đặt \(R\left(x\right)=a\) với \(a\in R\)
Khi đó đa thức \(Q\left(x\right)\) có dạng như sau :
\(Q\left(x\right)=a.x.\left(x-1\right).\left(x-2\right).\left(x-3\right)....\left(x-2020\right)\)
Mặt khác , ta lại có
\(Q\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)-x\)
Thay \(x=-1\) ta có \(Q\left(-1\right)=1\)
Suy ra \(a.\left(-1\right).\left(-2\right).\left(-3\right).\left(-4\right).....\left(-2021\right)=1\)
Suy ra \(a=\dfrac{-1}{2021!}\)
Khi đó đa thức \(Q\left(x\right)\) có dạng như sau :
\(Q\left(x\right)=\dfrac{-1}{2021!}.x.\left(x-1\right).\left(x-2\right).\left(x-3\right)....\left(x-2020\right)\)
Mặt khác ta lại có \(Q\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)-x\)
Thay \(x=2021\) ta có
\(Q\left(2021\right)=2022.P\left(2021\right)-2021\)
\(\Rightarrow\dfrac{-1}{2021!}.2021.2020.....1=2022.P\left(2021\right)-2021\)
\(\Rightarrow-1=2022.P\left(2021\right)-2021\)
\(\Rightarrow P\left(2021\right)=\dfrac{1010}{1011}\)
tự hỏi tự trả lời ????