Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(f\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+2\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+2\right)+x+2\)
Để \(f\left(x\right)⋮x^2+2\Leftrightarrow x+2⋮x^2+2\)
Đặt \(\frac{x+2}{x^2+2}=k\in Z\)
\(k+1=\frac{x^2+x+4}{x^2+2}=\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{2}}{x^2+2}>0\Rightarrow k>-1\)
\(k-1=\frac{-x^2}{x^2+2}\le0\Rightarrow k\le1\)
Mà \(k\in Z\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=0\\k=1\end{matrix}\right.\)
- Với \(k=0\Rightarrow\frac{x+2}{x^2+2}=0\Rightarrow x=-2\)
- Với \(k=1\Rightarrow\frac{x+2}{x^2+2}=1\Leftrightarrow x^2=x\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
\(x^3-3x^2+2=x(x^2+ax+b)-(a+3)(x^2+ax+b)+(a^2+3a-b)x+b(a+3)+2\)
Để $f(x)$ chia hết cho $x^2+ax+b$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} a^2+3a-b=0\\ b(a+3)+2=0\end{matrix}\right.\)
Với $a,b$ nguyên ta dễ dàng tìm được $a=b=-2$
Ta có: \(x^4:x^2=x^2\)
=> Đa thức thương của đa thức f(x) cho đa thức g(x) có dạng \(x^2+cx+d\)
=> \(f\left(x\right)=g\left(x\right).\left(x^2+cx+d\right)\)
=> \(x^4-3x^3+3x^2+ax+b=\left(x^2-3x+4\right)\left(x^2+cx+d\right)\)
=> \(x^4-3x^3+3x^2+ax+b=x^4+x^3\left(c-3\right)+x^2\left(d-3c+4\right)+x\left(4c-3d\right)+4d\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}c-3=-3\\d-3c+4=3\\4c-3d=a\\b=4d\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}c=0\\d=-1\\a=3\\b=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy a = 3; b = -4
Ngoài cách đồng nhất hệ số như trên bạn có thể lam theo phương pháp giá trị riêng
x-3x+3x+ax+b 4 3 2 x-3x+4 2 x-1 2 x-3x+4x 4 2 _________________________ - -x+ax+b 2 -x+3x-4 2 ______________ - (a-3)x+(b+4)
\(\Rightarrow\) Để \(f_{\left(x\right)}⋮g_{\left(x\right)}\)
\(\text{thì }\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-3\right)x=0\\b+4=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-3=0\\b+4=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy để \(f_{\left(x\right)}⋮g_{\left(x\right)}\) thì \(a=3;b=-4\)
Đa thức f(x) là đa thức có bậc cao nhất là bậc 4 nên khi chia cho đa thức g(x) có bậc cao nhất là bậc 2 và không có dư thì được thương là đa thức bậc 2 . Suy ra
f(x) : g(x) = (x2 + cx + d)
<=> f(x) = g(x).(x^2 + cx + d)
<=> x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b = (x2 - 3x + 4)(x2 + cx + d)
<=> x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b = x4 + x3.(c - 3) + x2.(d - 3c + 4) + x(-3d + 4c) + 4d
Đồng nhất hai vế , ta sẽ tìm được a,b