Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\left(a\inℤ^+\right)\)
\(f\left(5\right)=125a+25b+5c+d\)
\(f\left(3\right)=27a+9b+3c+d\)
\(\Rightarrow f\left(5\right)-f\left(3\right)=98a+16b+2c\)
Mà \(f\left(5\right)-f\left(3\right)=2022\) nên \(98a+16b+2c=2022\)
\(\Leftrightarrow49a+8b+c=1011\)
Lại có \(f\left(7\right)=343a+49b+7c+d\)
\(f\left(1\right)=a+b+c+d\)
\(\Rightarrow f\left(7\right)-f\left(1\right)=342a+48b+6c\) \(=6\left(57a+8b+c\right)\) \(=6\left(8a+1011\right)\) (vì \(49a+8b+c=1011\))
Mà do \(a\inℤ^+\) nên \(f\left(7\right)-f\left(1\right)\) là hợp số (đpcm)
- Đặt dạng đa thức
Giả sử
\(f \left(\right. x \left.\right) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d , a \in \mathbb{Z}^{+} , \textrm{ } b , c , d \in \mathbb{R} .\)
- Dùng điều kiện đề bài
Ta có:
\(f \left(\right. 2000 \left.\right) - f \left(\right. 1999 \left.\right) = \left(\right. 2001 - 2000 \left.\right) = 1.\)
Nhưng
\(f \left(\right. 2000 \left.\right) - f \left(\right. 1999 \left.\right) = a \left(\right. 2000^{3} - 1999^{3} \left.\right) + b \left(\right. 2000^{2} - 1999^{2} \left.\right) + c \left(\right. 2000 - 1999 \left.\right) .\)
- \(2000^{3} - 1999^{3} = \left(\right. 2000 - 1999 \left.\right) \left(\right. 2000^{2} + 2000 \cdot 1999 + 1999^{2} \left.\right) .\)
\(= 1 \cdot \left(\right. 2000^{2} + 2000 \cdot 1999 + 1999^{2} \left.\right) .\)
Tính:
\(2000^{2} = 4,000,000 , 2000 \cdot 1999 = 3,998,000 , 1999^{2} = 3,996,001.\)
Tổng = \(11,994,001\).
\(\Rightarrow 2000^{3} - 1999^{3} = 11,994,001.\)
- \(2000^{2} - 1999^{2} = \left(\right. 2000 - 1999 \left.\right) \left(\right. 2000 + 1999 \left.\right) = 1 \cdot 3999 = 3999.\)
- \(2000 - 1999 = 1.\)
Vậy:
\(f \left(\right. 2000 \left.\right) - f \left(\right. 1999 \left.\right) = 11,994,001 a + 3999 b + c = 1. \left(\right. 1 \left.\right)\)
- Tính hiệu cần chứng minh
\(f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right) = ?\)
Tính từng phần:
\(2001^{3} - 1998^{3} = \left(\right. 2001 - 1998 \left.\right) \left(\right. 2001^{2} + 2001 \cdot 1998 + 1998^{2} \left.\right) .\) \(= 3 \cdot \left(\right. 2001^{2} + 2001 \cdot 1998 + 1998^{2} \left.\right) .\)
- \(2001^{2} = 4,004,001 ,\)
- \(2001 \cdot 1998 = 3,996, - k i ể m t r a\)
\(2001 \cdot 1998 = 2001 \cdot \left(\right. 2000 - 2 \left.\right) = 2001 \cdot 2000 - 4002 = 4,002,000 - 4002 = 3,997,998.\)
- \(1998^{2} = \left(\right. 2000 - 2 \left.\right)^{2} = 4,000,000 - 8000 + 4 = 3,992,004.\)
Cộng: \(4,004,001 + 3,997,998 + 3,992,004 = 11,994,003.\)
Vậy:
\(2001^{3} - 1998^{3} = 3 \cdot 11,994,003 = 35,982,009.\)
Tương tự:
\(2001^{2} - 1998^{2} = \left(\right. 2001 - 1998 \left.\right) \left(\right. 2001 + 1998 \left.\right) = 3 \cdot 3999 = 11,997.\) \(2001 - 1998 = 3.\)
Vậy:
\(f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right) = 35,982,009 a + 11,997 b + 3 c . \left(\right. 2 \left.\right)\)
- Dùng (1) để thay \(c\)
Từ (1): \(c = 1 - 11,994,001 a - 3999 b .\)
Thay vào (2):
\(f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right) = 35,982,009 a + 11,997 b + 3 \left(\right. 1 - 11,994,001 a - 3999 b \left.\right) .\) \(= 35,982,009 a + 11,997 b + 3 - 35,982,003 a - 11,997 b .\)
Rút gọn:
\(= 6 a + 3.\)
- Kết luận
Do \(a\) là số nguyên dương nên
\(f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right) = 6 a + 3 = 3 \left(\right. 2 a + 1 \left.\right) .\)
Rõ ràng chia hết cho 3 và lớn hơn 3.
\(\Rightarrow f \left(\right. 2001 \left.\right) - f \left(\right. 1998 \left.\right)\) là hợp số.
✅ Kết quả cuối cùng:
\(f\left(\right.2001\left.\right)-f\left(\right.1998\left.\right)\) là hợp số.
xin cái tickkk=)
Đăng mấy bài này trên đây khó nhận được đáp án lắm! Nên đăng trên một số diễn đàn nhiều pro như:
Diễn đàn Toán học
Diễn Đàn MathScope
.......
Bài 1.
+TH1: Đa thức có bậc là 0
\(f\left(x\right)=a\text{ }\left(a\in R\right)\forall x\in R\)
Theo đề ra: \(16a^2=a^2\Rightarrow a=0\)
Vậy \(f\left(x\right)=0\forall x\in R\)
+TH2: Đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.
Giả sử đa thức có bậc n.
Gọi hệ số cao nhất của đa thức là \(a_n\text{ }\left(a_n\ne0\right)\)
Từ giả thiết, suy ra: \(16a_n^2=\left(2a_n\right)^2\Leftrightarrow16a_n^2=4a_n^2\Leftrightarrow a_n=0\text{ (vô lí)}\)
Vậy điều giả sử sai, hay không có đa thức nào thỏa mãn.
Vậy chỉ có \(f\left(x\right)=0\forall x\in R\) thỏa mãn để bài.
f(x) có nghiệm
=> \(b^2\ge4c\)
\(f\left(2\right)=4+2b+c=\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c+1+1+1+1\)
\(\ge9\sqrt[9]{\frac{1}{16}b^4c}\ge9\sqrt[9]{\frac{1}{16}.\left(4c\right)^2.c}=9\sqrt[3]{c}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi b=2,c=1