Question

[nguyễn thị bích nguyệt]

Cho cân tại A, có đường trung tuyến AD

a)  Chứng minh ∆DAB=∆DAC                                                 

b) Từ điểm D kẻ DE vuông góc với và vẽ DF vuông góc với. Chứng minh DE=DF

c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM=DA. Chứng minh AB=CM

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

a) Do AD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của BC

⇒ BD = CD

Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC và ∠ABC = ∠ACB

Xét ∆DAB và ∆DAC có:

AB = AC (cmt)

AD là cạnh chung

BD = CD (cmt)

⇒ ∆DAB = ∆DAC (c-c-c)

b) Bổ sung đề: DE AB tại E, DF AC tại F

Do ∠ABC = ∠ACB (cmt)

⇒ ∠EBD = ∠FCD

Xét hai tam giác vuông: ∆EBD và ∆FCD có:

BD = CD (cmt)

∠EBD = ∠FCD (cmt)

⇒ ∆EBD = ∆FCD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ DE = DF (hai cạnh tương ứng)

c) Do ∆DAB = ∆DAC (cmt)

⇒ ∠ADB = ∠ADC (hai góc tương ứng)

Mà ∠ADB + ∠ADC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠ADB = ∠ADC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AD ⊥ BC

⇒ ∆ADB vuông tại D và ∆MDC vuông tại D

Xét hai tam giác vuông: ∆ADB và ∆MDC có:

BD = CD (cmt)

DA = DM (gt)

⇒ ∆ADB = ∆MDC (hai cạnh góc vuông)

⇒ AB = CM (hai cạnh tương ứng)

Answer 2

[Kudo Shinichi]

a) Chứng minh ∆DAB = ∆DAC

Giả thiết:

• Tam giác ABC cân tại A → AB = AC
• D là trung điểm của BC → BD = DC
• AD là trung tuyến, do đó là đoạn nối từ A đến trung điểm D của BC

Xét hai tam giác DAB và DAC, ta có:

• AB = AC (gt, tam giác cân tại A)
• BD = DC (D là trung điểm của BC)
• AD chung

⟹ ΔDAB = ΔDAC (c-g-c)

---

b) Từ D kẻ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC. Chứng minh DE = DF

Từ câu a) ta đã có ΔDAB = ΔDAC

⇒ Hai tam giác này bằng nhau, nên góc DAB = góc DAC

Mà DE ⊥ AB, DF ⊥ AC, nên:

• ΔDED và ΔDFD đều là tam giác vuông tại E và F

Xét hai tam giác vuông nhỏ: ΔDDE và ΔDDF, ta có:

• DA = DA (chung)
• Góc ADE = góc ADF (do tam giác DAB = DAC, và các góc tương ứng bằng nhau)
• Góc vuông tại E và F

⟹ ΔDDE = ΔDDF (góc – cạnh – góc)

⇒ DE = DF

---

c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM = DA. Chứng minh AB = CM

Phân tích:

• Điểm M nằm trên tia đối của DA → A, D, M thẳng hàng, thứ tự M – D – A
• DM = DA (gt)

Xét tam giác AB và tam giác CM:

• AB = AC (gt, tam giác ABC cân tại A)
• DA = DM (gt)
• D là trung điểm của BC (gt)
  → Do đó, đoạn CM đối xứng với AB qua trục là đường thẳng AD

⇒ Tam giác ABM là ảnh phản xứng của tam giác ACB qua D

⟹ AB = CM