Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
Cho biểu thức \(P=a^4+b^4-ab\), với a,b là số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+ab=3\). Tìm GTLN và GTNN của P
Lời giải:
$P=a^4+b^4-ab=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2-ab$
$=(3-ab)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2+9-7ab=-[(ab)^2+7ab-9]$
Ta thấy:
$3=a^2+b^2+ab=(a-b)^2+3ab\Rightarrow 3ab=3-(a-b)^2\leq 3\Rightarrow ab\leq 1$
$3=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab\Rightarrow ab=(a+b)^2-3\geq -3$
Vậy $1\geq ab\geq -3(*)$
Ta có:
$(ab)^2+7ab-9=ab(ab-1)+8(ab-1)-1=(ab+8)(ab-1)-1$. Vì $(*)$ nên $(ab+8)(ab-1)\leq 0$
$\Rightarrow (ab)^2+7ab-9=(ab+8)(ab-1)-1\leq -1$
$\Rightarrow P\geq 1$ hay $P_{\min}=1$
Mặt khác:
$(ab)^2+7ab-9=ab(ab+3)+4(ab+3)-3=(ab+3)(ab+4)-3\geq -3$ do $ab\geq -3$
$\Rightarrow P=-[(ab)^2+7ab-9]\leq 3$ hay $P_{\max}=3$
Lời giải:
Tìm min:
Áp dụng BĐT AM-GM: $a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$ và $a^2+b^2\geq 2ab$
$\Rightarrow a+b\leq 2$ và $ab\leq 1$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)^2=4\Rightarrow a^3+b^3\geq frac{4}{a+b}\geq \frac{4}{2}=2$
$\Rightarrow a^3+b^3+4\geq 6(1)$
Lại có: $ab+1\leq 1+1=2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow P\geq \frac{6}{2}=3$ hay $P_{\min}=3$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
-----------------
Tìm max:
$a^2+b^2=2\Rightarrow (a+b)^2=2(1+ab)\Rightarrow ab+1=\frac{(a+b)^2}{2}$
Đặt $a+b=t$ thì $ab+1=\frac{t^2}{2}$.
Dễ thấy $(a+b)^2=2(1+ab)\geq 2$ do $ab\geq 0$ nên $a+b\geq \sqrt{2}$ hay $t\geq \sqrt{2}$
Biến đổi $P$
$P=\frac{(a+b)(a^2+b^2-ab)+4}{ab+1}=\frac{(a+b)[3-(ab+1)]+4}{ab+1}$
$=\frac{t(3-\frac{t^2}{2})+4}{\frac{t^2}{2}}=\frac{t(6-t^2)+8}{t^2}=\frac{6}{t}+\frac{8}{t^2}-t\leq \frac{6}{\sqrt{2}}+\frac{8}{2}-\sqrt{2}$ do $t\geq \sqrt{2}$
Hay $P\leq 4+2\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=4+2\sqrt{2}$ khi $(a,b)=(\sqrt{2},0)$ và hoán vị.
Lê Anh Ngọc: vậy thì bạn có thể làm như sau.
Biến đổi y như phần tìm max, tức là có $P=\frac{6}{t}+\frac{8}{t^2}-t$
$t^2=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2(a^2+b^2)-(a^2+b^2-2ab)=2(a^2+b^2)-(a-b)^2\leq 2(a^2+b^2)$
$\Leftrightarrow t^2\leq 4\Rightarrow t\leq 2$
Do đó: $P\geq \frac{6}{2}+\frac{8}{2^2}-2=3$
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?
\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)
\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 4
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Câu 2-Ta có x^2+y^2=5
(x+y)^2-2xy=5
Đặt x+y=S. xy=P
S^2-2P=5
P=(S^2-5)/2
Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2
Rùi tự tính
Câu1
Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)
=> P<=4/3(a+b+c)=4/3
Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c
\(A=\frac{1}{1+\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{1}{t^2+t+1}\) (chia cả tử và mẫu cho a2 rồi đặt \(t=\frac{b}{a}\))
Khi đó \(\frac{1}{2}\le t\le2\)
Ta có:
+) \(t\left(t-\frac{1}{2}\right)\ge0\Rightarrow t^2\ge\frac{1}{2}t\Rightarrow A=\frac{1}{t^2+t+1}\le\frac{1}{\frac{3}{2}t+1}\le\frac{1}{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}+1}=\frac{4}{7}\)
Đẳng thức xảy ra khi ...
Vậy..
+) \(t\left(t-2\right)\le0\Rightarrow t^2\le2t\Rightarrow A=\frac{1}{t^2+t+1}\ge\frac{1}{3t+1}\ge\frac{1}{3.2+1}=\frac{1}{7}\)
Đẳng thức xảy ra khi ...
Vậy..
P/s: Em ko chắc!
Đúng rồi nha còn một cách nữa là biến đổi tương đương nha mn