Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)
Bằng một số bước tính toán cơ bản, chúng ta có được:
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{x\left(x-z\right)^2}{2\left(x^2+z^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+y\right)-xy}{x+y}+\frac{y\left(y+z\right)-yz}{y+z}+\frac{z\left(z+x\right)-xz}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-\frac{xy}{x+y}-\frac{yz}{y+z}-\frac{xz}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{y+z}+\frac{zx}{z+x}\le\frac{x+y+z}{2}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{xy}{x+y}\le\frac{xy}{2\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}}{2}\le\frac{x+y}{4}\)
tương tự rồi cộng vế với vế suy ra đpcm
Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)
\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)
Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)
Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)
\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)
Vậy ta có đpcm
Ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)
Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\)
+\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)
+\(3+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow B=\frac{1}{1+\sqrt{3+2\left(xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)
+\(A=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki
\(x^2y+y^2z+z^2x=x.xy+y.yz+z.zx\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)
\(\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}}=3\)
(áp dụng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))
Tương tự: \(xy^2+yz^2+zx^2\le3\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{3^2}{3+2.3}=1\)
\(VT=A+B\ge1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=VP\)
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)
Mà \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)
Xét \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le2\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(x+y+z\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3}{2}\)
Vì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\) ( đpcm )
bđt <=> \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}-2\cdot\frac{x}{y}-2\cdot\frac{y}{z}-2\cdot\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge0\)
<=> \(\left(\frac{x^2}{y^2}-2\cdot\frac{x}{y}+1\right)+\left(\frac{y^2}{z^2}-2\cdot\frac{y}{z}+1\right)+\left(\frac{z^2}{x^2}-2\cdot\frac{z}{x}+1\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\ge0\)
<=> \(\left(\frac{x}{y}-1\right)^2+\left(\frac{y}{z}-1\right)^2+\left(\frac{z}{x}-1\right)^2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge3\)(1)
(1) hiển nhiên đúng vì ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(\frac{x}{y}-1\right)^2\\\left(\frac{y}{z}-1\right)^2\\\left(\frac{z}{x}-1\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y,z>0\)
lại có \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)( AM-GM )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}-\frac{x}{y}+\frac{y^2}{z^2}-\frac{y}{z}+\frac{z^2}{x^2}-\frac{z}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}-\frac{x}{y}+\frac{y}{z}-\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-\frac{z}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow0\ge0\)*luôn đúng*
Vậy ta có đpcm
P/s : Với bài này có thể dùng BĐT cô si cho 3 số cho VT và VP nhưng ko biết đúng ko :v