Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
<=> \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)
đến đây ez tự làm nốt nhé, ko ra ib mk
\(P=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cần cách khác thì nhắn cái
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\)
Khai triển cả 2 vế ta được \(\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)
=>\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=0\end{cases}}\)=>\(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\Rightarrow x=y\)
=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{x}+\frac{1}{z}=2\Rightarrow\frac{4}{x^2}+\frac{4}{xz}+\frac{1}{z^2}=4\)(1)
\(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{z^2}=4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\frac{2}{x^2}+\frac{4}{xz}+\frac{2}{z^2}=0\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xz}+\frac{1}{z^2}=0\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow x=y=-z\)
=> \(P=\left(x+2y+z\right)^{2019}=\left(2y\right)^{2019}\)
à thêm cái này nữa. Sorry viết thiếu
Vì x=y=-z\(\Rightarrow\frac{2}{x}-\frac{1}{x}=2\Rightarrow\frac{1}{x}=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}.\)
lúc đó \(P=\left(2.\frac{1}{2}\right)^{2019}=1\)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c\)
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)
đpcm
Đặt \(a=x;2b=y;3c=z\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Rightarrow Q=\frac{\frac{y}{2}.\frac{z}{3}}{x^2}+\frac{x.\frac{c}{3}}{2y^2}+\frac{x.\frac{y}{2}}{3z^2}\)
\(=\frac{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3}{6x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2+3x^2y^2z^2}{6x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^2yz-y^2zx+z^2xy\right)+3x^2y^2z^2}{6x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{6x^2y^2z^2}=\frac{1}{2}\)