Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải:
Trước hết ta chứng minh \(\forall x,y,z\ge0\) ta có: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Do vai trò \(a,b,c\) như nhau nên giả sử \(a=b=c=kd\)
Khi đó áp dụng \(\left(1\right)\) ta có:
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)
\(d^3+\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}\ge\frac{3dab}{k^2}\)
\(d^3+\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}\ge\frac{3bdc}{k^2}\)
\(d^3+\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}\ge\frac{3dca}{k^2}\)
\(\Rightarrow3d^3+\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3}{k^2}\left(abc+bcd+cda+dab\right)\)
\(\Rightarrow9d^3+3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{9}{k^2}.\)
Vậy ta tìm \(k\) thỏa mãn \(\Rightarrow3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)=4\Rightarrow4k^3-3k-6=0\)
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\) ta có:
\(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)=6\)
\(\Leftrightarrow x^6-12x^3+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\\x=\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(6-\sqrt{35}\right)\left(6+\sqrt{35}\right)=1\Rightarrow k=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)\)
Với \(k\) xác định như trên ta tìm được:
\(P_{min}=\frac{9}{k^2}=\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
bài này mk có cách làm r` mà hơi ngu mà hơi là ko dc làm gì phải dứt khoát chờ mk tìm cách ngu hơn
Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể dự đoán dấu bằng xảy ra tại \(a=b=c=dk\) với k dương
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ ba số dương ta được
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)(*) ; \(\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3adb}{k^2}\)(**) ; \(\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3bcd}{k^2}\)(***) ;\(\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3cda}{k^2}\)(****)
Cộng theo vế 4 bất đẳng thức (*), (**), (***), (****), ta được: \(\left(\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+3d^3\ge\frac{3\left(abc+bcd+cda+dab\right)}{k^2}=\frac{3}{k^2}\)
Hay \(\left(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\ge\frac{9}{k^2}\)
Ta cần tìm k để \(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}=4\Leftrightarrow4k^3-3k-6=0\)và ta chọn k là số dương
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\)thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu được \(x^6-12x^3+1=0\)
Giải phương trình này ta được \(x=\sqrt[3]{6\pm\sqrt{35}}\), để ý \(\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)=1\)nên ta tính được \(k=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}\)
Do đó ta tính được giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}d\)
\(\sqrt{2012}=\left(abc+bcd-a-d\right)+\left(cda+dab-c-b\right)\)
\(=\left(bc-1\right)\left(a+d\right)+\left(c+b\right)\left(ad-1\right)\)
\(\Rightarrow2012=\left[\left(bc-1\right)\left(a+d\right)+\left(c+b\right)\left(ad-1\right)\right]^2\)
\(\le\left[\left(bc-1\right)^2+\left(c+b\right)^2\right]\left[\left(a+d\right)^2+\left(ad-1\right)^2\right]\)
\(=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\left(d^2+1\right)\)
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
s ko tag t :vvvv
Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = kd, với k là số dương
Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta đc
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^2\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\\ \frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{2abd}{k^2}\\ \frac{b^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3abcd}{k^2}\\ \frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}\ge\frac{3cad}{k^2}\)
Cộng hai vế các BĐT trên ta đc:
\(\left(\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^2\right)+3d^3\ge\frac{3\left(abc+abd+bcd+cad\right)}{k^2}=\frac{3}{k^2}\)
Hay \(\left(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^2\right)+9d^3\ge\frac{9}{k^2}\)
Ta cần tìm k để \(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}=4\Leftrightarrow4k^3-3k-6=0\) và ta chọn k là số dương
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\) thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu đc
\(x^6-12x^3+1=0\)
Giải phương trình này ta đc \(x=\sqrt[3]{6\pm\sqrt{35}}\), để ý là \(\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)=1\)
nên ta tính đc \(k=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}\)
Do đó ta tính đc min của P là \(\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \(\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}.d>0\)
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
Ồ sorry bạn nhiều, chỗ đấy bị lỗi kĩ thuật rồi, mình sửa lại nhé :
\(M\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Lại có : \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt{a^3b^3c^3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Do đó : \(M\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có : \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a\left(b+c\right)}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{b\left(a+c\right)}\) , \(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
Ta thấy : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(M=\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\) \(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vâỵ \(M_{min}=\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)
ta có
\(abc+bcd+cda+dab=1\Leftrightarrow abc+d\left(\right.a+b+c\left.\right)=1\)
biểu thức
\(P=4\left(\right.a^3+b^3+c^3\left.\right)+9d^3\)
ta có
\(a^3+b^3+c^3\geq3abc\Rightarrow4\left(\right.a^3+b^3+c^3\left.\right)\geq12abc\)
vì
\(P\geq12abc+9d^3\left(\right.1\left.\right)\)
từ trên ta có
\(abc+d\left(\right.a+b+c\left.\right)=1\)
Nếu \(d\) lớn thì \(a b c\) nhỏ ⇒ vế phải (1) lớn
Nếu \(d\) nhỏ thì \(a b c \approx 1\) ⇒ khi đó
\(P\approx12\cdot1+0=12\)
Vậy
giá trị nhỏ nhất của \(P\) là
\(minP=12\)
đạt được khi \(a = b = c = 1 , d \rightarrow 0^{+}\).
do đó
\(12\)
Về cơ bản thì bài này ko giải được
Theo kĩ thuật cân bằng hệ số AM-GM:
Gọi x là 1 hằng số dương nào đó, ta có:
\(a^3+b^3+x^3.d^3\ge3x.abd\)
Tương tự thì:
\(a^3+c^3+x^3.d^3\ge3x.acd\)
\(b^3+c^3+x^3.d^3\ge3x.bcd\)
Cộng vế:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3x^3.d^3\ge3x.\left(bcd+cda+abd\right)\)
Đồng thời: \(x.\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3x.abc\)
Cộng vế:
\(\left(x+2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+3x^3.d^3\ge3x\)
So sánh với biểu thức P thì ta cần tìm x sao cho:
\(\frac{x+2}{4}=\frac{3x^3}{9}\Rightarrow4x^3-3x-6=0\)
Đây là 1 pt ko thể giải được (ra 1 kết quả x đủ đẹp)